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Selectividad Murcia Junio 2013 B3

Sea la función dada por
$f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} \frac{x}{1-e^x} & si & x \neq 0 \\ -1 & si & x = 0 \end{array} \right.$
a) Demuestre que es continua en todo R
b) Determine si la función es derivable en y, en caso afirmativo, calcule $f\textsc{\char13}(x)$ .

SOLUCIÓN

$\frac{x}{1-e^x}$ es continua en $R-\{0\}$ , por lo tanto f(x) es continua en $R-\{0\}$

Para comprobar la continuidad de f(x) en x=0 tenemos que aplicar la definición de continuidad en un punto

(por la definición de la función)

$\lim_{x \rightarrow 0^-}f(x) = \frac{0}{1-e^0} = \frac{0}{0}$
Aplicamos L’Hôpital para resolver la indeterminación
$\lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{x}{1-e^x} = \lim_{x \rightarrow 0^-}\frac{1}{-e^x} =\frac{1}{-e^0}=\frac{1}{-1}=-1$

Procediendo de forma análoga calculamos $\lim_{x \rightarrow 0^+}f(x) = -1$

Como coinciden imagen y límites laterales, f es continua en x=0

Por lo tanto, f(x) es continua en todo R

b) Si derivamos $\frac{x}{1-e^x}$ obtenemos
$\frac{1-e^x+x \cdot e^x}{(1-e^x)^2}$

Por tanto, la derivada de f(x) es:

$f^{\prime}(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} \frac{1-e^x+x \cdot e^x}{(1-e^x)^2} & si & x \neq 0 \\ ? & si & x = 0 \end{array} \right.$

Comprobamos si es derivable en x=0 y lo que vale su derivada (en caso de ser derivable)

$f^{\prime}(0^-)= \frac{1-e^0+0 \cdot e^0}{(1-e^0)^2}=\frac{0}{0}$
$f^{\prime}(0^+)$ daría el mismo resultado pues la función es la misma a izquierda y a derecha de cero.

Podemos aplicar L’Hôpital para resolverlo (no olvidemos que la derivada, por definición, es un límite)

Derivando numerador y denominador (cada uno por su lado pues estamos aplicando L’Hôpital) obtendríamos $\frac{x \cdot e^x}{-2e^x+2e^{2x}$ , entonces

$f^{\prime}(0)= \frac{0 \cdot e^0}{-2e^0+2e^{2 \cdot 0}} = \frac{0}{0}$

Tenemos que volver a aplicar L’Hôpital

Derivando obtenemos $\frac{1 \cdot e^x + x \cdot e^x}{-2e^x+4e^{2x}}$ , entonces:

$f^{\prime}(0)= \frac{1 \cdot e^0 + 0 \cdot e^0}{-2e^0+4e^{2 \cdot 0}} =\frac{1+0}{-2+4}=\frac{1}{2}$

Por tanto la derivada quedaría así:

$f^{\prime}(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} \frac{1-e^x+x \cdot e^x}{(1-e^x)^2} & si & x \neq 0 \\ 1/2 & si & x = 0 \end{array} \right.$