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Calcular matriz inversa aplicando la definición

Calcular matriz inversa aplicando la definición

- Uno de los métodos para calcular la matriz inversa es aplicar la definición.
- El método e aconsejable para matrices 2x2 (no aconsejable para matrices de orden 3 o superior)

Paso para calcular la inversa

Supongamos que nos piden calcular la inversa de la matriz A = \left(
\begin{array}{cc}
     1 & 1 
  \\ 0 & 1
\end{array}
\right)

- 1) Asignamos a los elementos de la matriz inversa (que desconocemos) letras: a, b, c, ..
A^{-1} = \left(
\begin{array}{cc}
     a & b 
  \\ c & d
\end{array}
\right)

- 2) Planteamos la igualdad de la definición: A \cdot A^{-1} = I
\left(
\begin{array}{cc}
     1 & 1 
  \\ 0 & 1
\end{array}
\right) \cdot \left(
\begin{array}{cc}
     a & b 
  \\ c & d
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
     1 & 0 
  \\ 0 & 1
\end{array}
\right)

- 3) Resolvemos el producto de matrices A \cdot A^{-1}
\left(
\begin{array}{cc}
     a+c & b+d 
  \\ c & d
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
     1 & 0 
  \\ 0 & 1
\end{array}
\right)
- 4) Igualamos elemento a elemento.
a+c=1
c=0
b+d=0
d=1

- 5) Resolvemos los sistemas de ecuaciones resultantes
\left.
\begin{array}{cc}
  a+c=1
  \\c=0
\end{array}
\right\}  \Longrightarrow \fbox{a=1} \: ; \: \fbox{c=0}
\left.
\begin{array}{cc}
  b+d=0
  \\d=1
\end{array}
\right\}  \Longrightarrow \fbox{d=1} \: ; \: \fbox{b=-1}

Por tanto la inversa es A^{-1} = \left(
\begin{array}{cc}
     1 & -1 
  \\ 0 & 1
\end{array}
\right)

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