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Cuarto vértice de un tetraedro

Los puntos A(3,0,0), B(0,3,0) y C(0,0,3) son tres de los vértices de un tetraedro. El cuarto vértice D está contenido en la recta r que pasa por el punto P(1,1,1) y es perpendicular al plano \pi que contiene a los puntos A, B y C.

- a) Calcule la ecuación del plano que contiene a los puntos A, B y C.
- b) Calcule la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1,1,1) y es perpendicular al plano \pi
- c) Calcule las coordenadas del vértice D sabiendo que el volumen del tetraedro es 18.

SOLUCIÓN

a) Podemos determinar la ecuación del plano \pi mediante un punto: A(3,0,0) y dos vectores: \vec{AB}=(-3,3,0) y \vec{AC}=(-3,0,3)


\left| \begin{array}{ccc} 
x-3 & y & z \\
 -3 & 3 & 0 \\
 -3 & 0 & 3 
\end{array} \right| = 0


9x+9y+9z-27=0


Podemos simplificar dividiendo entre 9

\pi \longrightarrow x+y+z-3=0

- b) Ecuación de la recta (r) que pasa por P(1,1,1) y es perpendicular a \pi \longrightarrow x+y+z-3=0

Tomamos como vector director el vector normal al plano: \vec{v}=(1,1,1) y como punto el P(1,1,1)

En ecuaciones paramétricas sería:

r \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll}
x=1+\lambda \\  
y=1+\lambda  \\
z=1+\lambda 
\end{array}
\right.

- c) Del vértice D tenemos dos datos:

1) D está en la recta r por tanto sus coordenadas son de la forma:
D(1+\lambda, 1+\lambda, 1+\lambda)

2) El volumen del tetraedro es 18
El volumen de un tetraedro se calcula mediante el producto mixto:
\frac{1}{6} \cdot |[\vec{AB} , \vec{AC} , \vec{AD}]|=Volumen del tetraedro ABCD

\vec{AB}=(-3,3,0)
\vec{AC}=(-3,0,3)
\vec{AD}=(1+\lambda -3,1+\lambda -0,1+\lambda -0)=(\lambda -2,1+\lambda ,1+\lambda)

\frac{1}{6} \cdot |[\vec{AB} , \vec{AC} , \vec{AD}]|=18
[\vec{AB} , \vec{AC} , \vec{AD}] = 
\left| \begin{array}{ccc} 
-3 & 3 & 0 \\
 -3 & 0 & 3 \\
 \lambda -2 & +\lambda & +\lambda 
\end{array} \right| =27 \lambda

\frac{1}{6} \cdot |27 \lambda  |=18
|27 \lambda  |=18 \cdot 6
|27 \lambda  |=108
|\lambda  |=\frac{108}{27}
|\lambda  |=4 \longrightarrow \lambda = \pm 4

Como D(1+\lambda, 1+\lambda, 1+\lambda) obtendríamos dos posibles valores para el punto D:
D(5, 5, 5) y D(-3, -3, -3)

Si no hubiésemos tenido en cuenta el valor absoluto, tendríamos esta imagen
Tetraedro con geogebra 3D

Pero lo correcto es considerar las dos opciones
Dos tetraedros con geogebra 3D

moderación a priori

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