Cuarto vértice de un tetraedro

, por dani

|

a) Podemos determinar la ecuación del plano \pi mediante un punto: A(3,0,0) y dos vectores: \vec{AB}=(-3,3,0) y \vec{AC}=(-3,0,3)

\left| \begin{array}{ccc} x-3 & y & z \\ -3 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 3 \end{array} \right| = 0


9x+9y+9z-27=0


Podemos simplificar dividiendo entre 9

\pi \longrightarrow x+y+z-3=0

– b) Ecuación de la recta (r) que pasa por P(1,1,1) y es perpendicular a \pi \longrightarrow x+y+z-3=0

Tomamos como vector director el vector normal al plano: \vec{v}=(1,1,1) y como punto el P(1,1,1)

En ecuaciones paramétricas sería:

r \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} x=1+\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=1+\lambda \end{array} \right.

– c) Del vértice D tenemos dos datos:

1) D está en la recta r por tanto sus coordenadas son de la forma:
D(1+\lambda, 1+\lambda, 1+\lambda)

2) El volumen del tetraedro es 18
El volumen de un tetraedro se calcula mediante el producto mixto:
\frac{1}{6} \cdot |[\vec{AB} , \vec{AC} , \vec{AD}]|=Volumen del tetraedro ABCD

\vec{AB}=(-3,3,0)
\vec{AC}=(-3,0,3)
\vec{AD}=(1+\lambda -3,1+\lambda -0,1+\lambda -0)=(\lambda -2,1+\lambda ,1+\lambda)

\frac{1}{6} \cdot |[\vec{AB} , \vec{AC} , \vec{AD}]|=18
[\vec{AB} , \vec{AC} , \vec{AD}] = \left| \begin{array}{ccc} -3 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 3 \\ \lambda -2 & +\lambda & +\lambda \end{array} \right| =27 \lambda

\frac{1}{6} \cdot |27 \lambda |=18
|27 \lambda |=18 \cdot 6
|27 \lambda |=108
|\lambda |=\frac{108}{27}
|\lambda |=4 \longrightarrow \lambda = \pm 4

Como D(1+\lambda, 1+\lambda, 1+\lambda) obtendríamos dos posibles valores para el punto D:
D(5, 5, 5) y D(-3, -3, -3)

Si no hubiésemos tenido en cuenta el valor absoluto, tendríamos esta imagen

Tetraedro con geogebra 3D
Tetraedro con geogebra 3D

Pero lo correcto es considerar las dos opciones

Dos tetraedros con geogebra 3D
Dos tetraedros con geogebra 3D

Los puntos A(3,0,0), B(0,3,0) y C(0,0,3) son tres de los vértices de un tetraedro. El cuarto vértice D está contenido en la recta r que pasa por el punto P(1,1,1) y es perpendicular al plano \pi que contiene a los puntos A, B y C.

– a) Calcule la ecuación del plano que contiene a los puntos A, B y C.
– b) Calcule la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1,1,1) y es perpendicular al plano \pi
– c) Calcule las coordenadas del vértice D sabiendo que el volumen del tetraedro es 18.