Cuarto vértice de un tetraedro

Los puntos , y son tres de los vértices de un tetraedro. El cuarto vértice D está contenido en la recta r que pasa por el punto y es perpendicular al plano $\pi$ que contiene a los puntos A, B y C.

a) Calcule la ecuación del plano que contiene a los puntos A, B y C.
b) Calcule la ecuación de la recta r que pasa por el punto y es perpendicular al plano $\pi$
c) Calcule las coordenadas del vértice D sabiendo que el volumen del tetraedro es 18.

SOLUCIÓN

a) Podemos determinar la ecuación del plano $\pi$ mediante un punto: y dos vectores: $\vec{AB}=(-3,3,0)$ y $\vec{AC}=(-3,0,3)$

$\left| \begin{array}{ccc} x-3 & y & z \\ -3 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 3 \end{array} \right| = 0$

Podemos simplificar dividiendo entre 9

$\pi \longrightarrow x+y+z-3=0$

b) Ecuación de la recta (r) que pasa por y es perpendicular a $\pi \longrightarrow x+y+z-3=0$

Tomamos como vector director el vector normal al plano: $\vec{v}=(1,1,1)$ y como punto el

En ecuaciones paramétricas sería:

$r \longrightarrow \left\{ \begin{array}{lll} x=1+\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=1+\lambda \end{array} \right.$

c) Del vértice D tenemos dos datos:

1) D está en la recta r por tanto sus coordenadas son de la forma:
$D(1+\lambda, 1+\lambda, 1+\lambda)$

2) El volumen del tetraedro es 18
El volumen de un tetraedro se calcula mediante el producto mixto:
$\frac{1}{6} \cdot |[\vec{AB} , \vec{AC} , \vec{AD}]|=$ Volumen del tetraedro

$\vec{AB}=(-3,3,0)$
$\vec{AC}=(-3,0,3)$
$\vec{AD}=(1+\lambda -3,1+\lambda -0,1+\lambda -0)=(\lambda -2,1+\lambda ,1+\lambda)$

$\frac{1}{6} \cdot |[\vec{AB} , \vec{AC} , \vec{AD}]|=18$
$[\vec{AB} , \vec{AC} , \vec{AD}] = \left| \begin{array}{ccc} -3 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 3 \\ \lambda -2 & +\lambda & +\lambda \end{array} \right| =27 \lambda$

$\frac{1}{6} \cdot |27 \lambda |=18$
$|27 \lambda |=18 \cdot 6$
$|27 \lambda |=108$
$|\lambda |=\frac{108}{27}$
$|\lambda |=4 \longrightarrow \lambda = \pm 4$