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Extremos (máximos y mínimos) de una función

· Una función tiene un máximo relativo en el punto si es mayor o igual que en todos los puntos próximos al punto , tanto por la derecha como por la izquierda de él.

· Una función f tiene un mínimo relativo en el punto si es menor o igual que en todos los puntos próximos al punto , tanto por la derecha como por la izquierda de él.

Calcular los extremos de una función continua

Si la función es continua y hemos estudiado su monotonía, podemos basarnos en la monotonía para obtener los extremos.

– Ejemplo: Si f es una función continua en , tal que es creciente en $(-\infty,3)$ y decreciente en $(3, +\infty)$ , entonces tiene un máximo en el punto

Calcular los extremos de una función con derivadas

Para calcular los extremos de una función:

– 1) Calculamos su primera y segunda derivadas
– 2) Resolvemos la ecuación $f\textsc{\char13}(x)=0$ . Las soluciones son los candidatos a máximo o mínimo.
– 3) A cada solución "s" le aplicamos la derivada segunda para saber si es máximo o mínimo:

Si $f\textsc{\char13} \textsc{\char13}(s) >0 \longrightarrow$ MIN $\left(s, f(s) \right)$
Si $f\textsc{\char13} \textsc{\char13}(s) <0 \longrightarrow$ MAX $\left(s, f(s)\right)$

Observe que si la derivada segunda es cero no podemos afirmar nada.

En el siguiente enlace puede ver un ejercicio resuelto:

Ver Ejemplo RESUELTO