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Distribución Binomial

Una variable aleatoria sigue una binomial si:

1) Hay un experimento aleatorio que se repite veces con independencia (ejemplo: lanzar una moneda 100 veces)

2) En cada prueba solo pueden darse dos casos: éxito o fracaso (ejemplo: cara o cruz). Las probabilidades de ambos suman uno pero no tienen que ser la misma.

probabilidad de obtener éxito

probabilidad de no obtener éxito (fracaso)

3) La variable se define como el número de éxitos conseguidos:
número de éxitos conseguidos en los experimentos.

Para simplificar, lo expresamos de la siguiente manera:

$X \longrightarrow B(n,p)$

Su función de probabilidad es la siguiente:

$P(X=k) = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \cdot p^k \cdot(1-p)^{n-k}$

para

Su media o Esperanza Matemática (valor esperado) es $\fbox{n \cdot p}$

La expresión $\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)$ se llama número combinatorio y se lee «n sobre k»

Para calcularlo se usa la siguiente fórmula:

$\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

Ejemplo:

$\left( \begin{array}{c} 7 \\ 3 \end{array} \right) = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!}= \frac{7!}{3! \cdot 4!}=\frac{7 \cdot \cancel{6} \cdot 5 \cdot \cancel{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cancel{4 \cdot \cancel{3 \cdot 2} \cdot 1}} = 35$

Algunas propiedades de los números combinatorios

– $\textcolor{blue}{\left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right) = 1}$ Ejemplo: $\left( \begin{array}{c} 8 \\ 0 \end{array} \right) = 1$

– $\textcolor{blue}{\left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right) = n}$ Ejemplo: $\left( \begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array} \right) = 8$

– $\textcolor{blue}{\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} n \\ n-k \end{array} \right)}$ Ejemplo: $\left( \begin{array}{c} 8 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 8 \\ 6 \end{array} \right)$