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Valores parámetros función trozos derivable

Calcula los valores de b y c para que la siguiente función sea derivable en el punto x=2

 
f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
              x^2+bx+c &   si  & x < 2 \\
              
              \\ x &  si  & x \geq 2 
              \end{array}
    \right.

SOLUCIÓN

La función derivada es de la forma:

 
f\textsc{\char13}(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
              2x+b &   si  & x < 2 \\
              
              \\ 1 &  si  & x > 2 
              \end{array}
    \right.

Para que sea derivable en x=2 se tiene que cumplir que f\textsc{\char13}(2^+)=f\textsc{\char13}(2^-)
f\textsc{\char13}(2^-)=2 \cdot 2 + b = 4+b
f\textsc{\char13}(2^+)=1

Por tanto: 4+b=1 \Rightarrow \fbox{b=-3}

Por otra parte sabemos que derivable \Rightarrow continua, por tanto debe ser continua en x=2 y por ello deben coincidir ambos límites laterales:
\lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^+} f(x)
2^2 + b \cdot 2 + c = 2. Como b=-3 , tenemos que:
2^2 + (-3) \cdot 2 + c = 2
4 -6 +c=2 \Rightarrow \fbox{c=4}

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