Valores parámetros función trozos derivable

Miércoles 27 de marzo de 2013, por dani

límites
derivada de una función
Ejercicios_Resueltos

La función derivada es de la forma:

$f\textsc{\char13}(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 2x+b & si & x < 2 \\ \\ 1 & si & x > 2 \end{array} \right.$

Para que sea derivable en se tiene que cumplir que $f\textsc{\char13}(2^+)=f\textsc{\char13}(2^-)$
$f\textsc{\char13}(2^-)=2 \cdot 2 + b = 4+b$
$f\textsc{\char13}(2^+)=1$

Por tanto: $4+b=1 \Rightarrow \fbox{b=-3}$

Por otra parte sabemos que derivable $\Rightarrow$ continua, por tanto debe ser continua en y por ello deben coincidir ambos límites laterales:
$\lim_{x \rightarrow 2^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^+} f(x)$
$2^2 + b \cdot 2 + c = 2$ . Como , tenemos que:
$2^2 + (-3) \cdot 2 + c = 2$
$4 -6 +c=2 \Rightarrow \fbox{c=4}$