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08 - Producto escalar. Ángulo de dos vectores. Paralelismo y Perpendicularidad

– El producto escalar de dos vectores $\vec{u}=(u_1,u_2)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2)$ es un número. La fórmula que permite calcular su valor es:

$\vec{u} \cdot \vec{v} =|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos (\vec{u},\vec{v} )$

donde $|\vec{u}|$ y $|\vec{v}|$ son los módulos de los dos vectores y $\cos (\vec{u},\vec{v})$ indica el coseno del ángulo que forman los orígenes de ambos vectores.

– Podemos calcular el ángulo que forman dos vectores despejando en la fórmula anterior:

$\cos (\vec{u},\vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

– Si conocemos las componentes (coordenadas) de los vectores $\vec{u}=(u_1,u_2)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2)$ , el producto escalar se puede obtener de manera más fácil usando la fórmula:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2$

– Dos vectores son paralelos cuando sus coordenadas sean proporcionales.
Ejemplo: los vectores $\vec{u}=(2,3)$ y $\vec{v}=(4,6)$ son paralelos

– Dos vectores, no nulos, $\vec{u}=(u_1,u_2)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2)$ son ortogonales (perpendiculares), si y solo si su producto escalar vale 0. Es decir:

$\vec{u} \perp \vec{v} \Longleftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v}=0$

Un vector ortogonal al vector es el vector (cambiamos de orden sus componentes y le cambiamos el signo a una de ellas)