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Selectividad Andalucía 2019 Junio A4

Considera la recta $r \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{1}$
y los planos $\pi_1 \equiv x=0$ y $\pi_2 \equiv y=0$

– a) Halla los puntos de la recta que equidistan de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$
– b) Determina la posición relativa de la recta y la recta de instersección de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$

SOLUCIÓN

– a) Expresamos la recta $r \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{1}$ en ecuaciones paramétricas:

$r \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x=2-\lambda \\ y=2+3\lambda \\ z=1+\lambda \end{array} \right.$

Cualquier punto

de la recta

se puede expresar de la forma:
$P \in r \longrightarrow P(2-\lambda, 2+3\lambda, 1+\lambda)$
Si está a la misma distancia de ambos planos:

$d(P, \pi_1) = d(P, \pi_2)$

Aplicando la fórmula de la distancia de un punto a un plano tendremos:
$\frac{(2-\lambda) \cdot 1}{\sqrt{1^2}} = \frac{(2+3\lambda) \cdot 1}{\sqrt{1^2}} \Longrightarrow |2- \lambda| = |2+3\lambda|$
La expresión anterior con valor absoluto da lugar a dos ecuaciones:
$2-\lambda = 2 + 3 \lambda \longrightarrow \lambda=0$
$-(2-\lambda) = 2 + 3 \lambda \longrightarrow \lambda=-2$

$\lambda = 0 \longrightarrow P(2-0, 2+3\cdot 0, 1+0) \longrightarrow P(2,2,1)$
$\lambda = -2 \longrightarrow P(2-(-2), 2+3\cdot (-2), 1+(-2)) \longrightarrow P(4,-4,-1)$

– b) Veamos la posición relativa de las rectas y . Para ello usaremos el método de los vectores, por tanto necesitamos un vector director de cada recta y un tercer vector formado por un punto de cada recta
$r \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \vec{v_r} = (-1,3,1) \\ P_r(2,2,1) \end{array} \right.$
$s \longrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x=0 & \qquad \vec{v_s} = (0,0,1) \\ y=0 & \qquad P_s(0,0,1) \end{array} \right.$

Observa que todos los puntos de la recta «s» son de la forma (0,0,t), por ello, cualquier vector director también será de la forma (0,0,t)

$\vec{v_r} = (-1,3,1)$
$\vec{v_s} = (0,0,1)$
$\vec{P_rP_s} = (-2,-2,0)$

$M = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & -2 & 0 \end{array} \right)$
$|M| = -8 \neq 0 \Longrightarrow rg(M)=3$
Las rectas se cruzan