Selectividad Andalucía 2019 Junio A4

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Considera la recta r \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{1}
y los planos \pi_1 \equiv x=0 y \pi_2 \equiv y=0

– a) Halla los puntos de la recta r que equidistan de los planos \pi_1 y \pi_2
– b) Determina la posición relativa de la recta r y la recta de instersección de los planos \pi_1 y \pi_2

SOLUCIÓN

– a) Expresamos la recta r \equiv \frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-1}{1} en ecuaciones paramétricas:

r \equiv \left\{ \begin{array}{lll} x=2-\lambda \\ y=2+3\lambda \\ z=1+\lambda \end{array} \right.


Cualquier punto P de la recta r se puede expresar de la forma:
P \in r \longrightarrow P(2-\lambda, 2+3\lambda, 1+\lambda)
Si está a la misma distancia de ambos planos:

d(P, \pi_1) = d(P, \pi_2)


Aplicando la fórmula de la distancia de un punto a un plano tendremos:
\frac{(2-\lambda) \cdot 1}{\sqrt{1^2}} = \frac{(2+3\lambda) \cdot 1}{\sqrt{1^2}} \Longrightarrow |2- \lambda| = |2+3\lambda|
La expresión anterior con valor absoluto da lugar a dos ecuaciones:
2-\lambda = 2 + 3 \lambda \longrightarrow \lambda=0
-(2-\lambda) = 2 + 3 \lambda \longrightarrow \lambda=-2

\lambda = 0 \longrightarrow P(2-0, 2+3\cdot 0, 1+0) \longrightarrow P(2,2,1)
\lambda = -2 \longrightarrow P(2-(-2), 2+3\cdot (-2), 1+(-2)) \longrightarrow P(4,-4,-1)

– b) Veamos la posición relativa de las rectas r y s. Para ello usaremos el método de los vectores, por tanto necesitamos un vector director de cada recta y un tercer vector formado por un punto de cada recta
r \longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \vec{v_r} = (-1,3,1) \\ P_r(2,2,1) \end{array} \right.
s \longrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x=0 & \qquad \vec{v_s} = (0,0,1) \\ y=0 & \qquad P_s(0,0,1) \end{array} \right.

Observa que todos los puntos de la recta «s» son de la forma (0,0,t), por ello, cualquier vector director también será de la forma (0,0,t)

\vec{v_r} = (-1,3,1)
\vec{v_s} = (0,0,1)
\vec{P_rP_s} = (-2,-2,0)

M = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 & -2 & 0 \end{array} \right)
|M| = -8 \neq 0 \Longrightarrow rg(M)=3
Las rectas se cruzan