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Selectividad Andalucía 2004-1-B2

Sea la función $f(x)=\frac{4x-1}{2x-2}$

– a) Determine su dominio, los puntos de corte con los ejes, sus asíntotas, y
represéntela gráficamente.
– b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa .

SOLUCIÓN

– a) $2x-2=0 \Rightarrow x=1$
$Dom(f) = R - \{1\}$

Corte con los ejes
$x=0 \longrightarrow y=1/2$ Punto de corte
$y=0 \longrightarrow 0=\frac{4x-1}{2x-2} \longrightarrow 0=4x-1 \longrightarrow x=1/4$ Punto de corte

Asíntotas
Horizontal: Vertical:

Gráfica: Se trata de una hipérbola. Dibujamos las asíntotas, los puntos de corte con los ejes y calculamos algunos puntos más. Obtenemos la siguiente gráfica:

– b) La ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto 0 es:
$y-f(0) = f\textsc{\char13}(0) \cdot (x-0)$
Calculamos los datos necesarios:
$f(x)=\frac{4x-1}{2x-2} \longrightarrow f(0)=\frac{1}{2}$
$f\textsc{\char13}(x)$ $= \frac{-6}{(2x-2)^2} \longrightarrow$ $f\textsc{\char13}(0)$ $=\frac{-3}{2}$

La ecuación quedaría $y-\frac{1}{2} = \frac{-3}{2} \cdot x$