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Derivabilidad de función a trozos

Estudia la derivabilidad de la siguiente función:

f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 2x+1 &  si &  x \leq 1 
\\ cos(x-1)\cdot ({ x }^{ 2 }+2) &  si & x>1 
\end{array} \right.

SOLUCIÓN

f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 2x+1 &  si &  x \leq 1 
\\ cos(x-1)\cdot ({ x }^{ 2 }+2) &  si & x>1 
\end{array} \right.

En (-\infty,1) es derivable y su derivada es 2

En (1,+\infty) es derivable y su derivada es -sen(x-1)\cdot(x^2+2)+cos(x-1) \cdot 2x

Veamos si es derivable en el punto x=1

f^{\prime}(1^-) = 2

f^{\prime}(1^+) = -sen(1-1)\cdot(1^2+2)+cos(1-1) \cdot 2 \cdot 1 =2

Como las derivadas laterales coinciden, es derivable en x=1

La derivada de la función es:

f^{\prime}(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 2 &  si &  x \leq 1 
\\ -sen(x-1)\cdot(x^2+2)+cos(x-1) \cdot 2x &  si & x>1 
\end{array} \right.

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