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Problema de áreas de triángulo y romboide

En la siguiente imagen los triángulos \bigtriangleup ABE y \bigtriangleup BCD son equiláteros y D es el punto medio de \overline{BE}.
Sabiendo que DC = 10 calcula el área del triángulo \bigtriangleup ACE

SOLUCIÓN

Si nos fijamos en la siguiente construcción

podemos ver dos romboides: ABCG y CHEG que tienen el mismo área.

El triángulo que nos piden \bigtriangleup ACE se puede dividir en dos triángulos: \bigtriangleup ACG y \bigtriangleup CEG

El área de cada uno de los triángulos \bigtriangleup ACG y \bigtriangleup CEG es la mitad del área del romboide (el de abajo es la mitad del romboide de abajo y el superior la mitad del romboide de arriba).

El área total que nos piden coincide con el área de uno de los romboides (suma de dos medios romboides).

Por tanto, el problema se reduce a calcular el área de uno de los romboides (cualquiera de ellos, pues ambos tienen igual área).

Calculemos el área del romboide verde

La base mide 20. Nos falta calcular la altura, que coincide con la altura del triángulo \bigtriangleup BCD (la calculamos usando Pitágoras)
h^2+5^2 =10^2
h^2+25 =100
h^2 =75
h =\sqrt{75}

Por tanto el área del romboide es A = 20 \cdot \sqrt{75} \: u^2 , que coincide con el área del triángulo que nos piden (como se ha explicado antes).

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