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Selectividad Andalucía 2018 Septiembre A4

Considera las rectas

r \equiv \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3} \qquad \quad s \equiv 
\left\{
2x -3 y  = -5 \atop
 y -2z = -1
\right.

- a) Estudia y determina la posición relativa de r y s
- b) Calcula la distancia entre r y s

SOLUCIÓN

Usaremos el método de los vectores para estudiar la posición relativa.
Recordemos que necesitamos un vector director de cada recta y un tercer vector formado por un punto de cada recta.

r \equiv \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}

\vec{v_r} = (2,1,3)
A (-1,0,-1)

s \equiv 
\left\{
2x -3 y  = -5 \atop
 y -2z = -1
\right.

Pasamos la recta "s" a ecuaciones paramétricas

s \equiv 
\left\{
\begin{array}{l}
x = -4+3t 
\\ y = -1+2t 
\\ z = t
\end{array}
\right.

\vec{v_s} = (3,2,1)
B (-4,-1,0)

Formamos el tercer vector
\vec{AB} = (-3,-1,1)

Ahora podemos construir la matriz formada por los tres vectores

M= 
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 3 
\\ 3 & 2 & 1 
\\ -3 & -1 & 1
\end{array}
\right )

 |M|=9 \neq 0 \longrightarrow  rg(M)=3
Las rectas se cruzan.

- b) Tenemos que hallar la distancia entre dos rectas que se cruzan.
Usaremos el método 1 explicado en la teoría

Construimos un plano \pi que contenga a r y sea paralelo a s

Distancia entre rectas que se cruzan
rectas que se cruzan sin cortarse en el espacio

\pi \equiv 
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v_r} = (2,1,3)
\\ \vec{v_s} = (3,2,1)
\\ A (-1,0,-1)
\end{array}
\right. \qquad \pi \equiv 
\left|
\begin{array}{ccc}
x+1 & y & z+1
\\ 2 & 1 & 3
\\ 3 & 2 & 1
\end{array}
\right |=0

Resolvemos el determinante, operamos y simplificamos.
Finalmente nos queda como ecuación del plano:
\pi \equiv -5x+7y+z-4=0

Ahora tenemos que buscar un punto de la recta "s" y hallar su distancia al plano
(usaremos la fórmula de la distancia de un punto a un plano)

B (-4,-1,0) \in s
d(r,s)=d(B, \pi)=\frac{|(-5) \cdot (-4)+7 \cdot (-1)+1 \cdot 0 -4|}{+\sqrt{(-5)^2+7^2+1^2}}=\frac{9}{\sqrt{75}}

moderación a priori

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