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Selectividad Andalucía 2018 Septiembre A4

Considera las rectas

$r \equiv \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3} \qquad \quad s \equiv \left\{ 2x -3 y = -5 \atop y -2z = -1 \right.$

– a) Estudia y determina la posición relativa de y
– b) Calcula la distancia entre y

SOLUCIÓN

Usaremos el método de los vectores para estudiar la posición relativa.
Recordemos que necesitamos un vector director de cada recta y un tercer vector formado por un punto de cada recta.

$r \equiv \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}$

$\vec{v_r} = (2,1,3)$

$s \equiv \left\{ 2x -3 y = -5 \atop y -2z = -1 \right.$

Pasamos la recta "s" a ecuaciones paramétricas

$s \equiv \left\{ \begin{array}{l} x = -4+3t \\ y = -1+2t \\ z = t \end{array} \right.$

$\vec{v_s} = (3,2,1)$

Formamos el tercer vector
$\vec{AB} = (-3,-1,1)$

Ahora podemos construir la matriz formada por los tres vectores

$M= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \end{array} \right )$

$|M|=9 \neq 0 \longrightarrow rg(M)=3$
Las rectas se cruzan.

– b) Tenemos que hallar la distancia entre dos rectas que se cruzan.
Usaremos el método 1 explicado en la teoría

Construimos un plano $\pi$ que contenga a y sea paralelo a

**Distancia entre rectas que se cruzan**

rectas que se cruzan sin cortarse en el espacio

$\pi \equiv \left\{ \begin{array}{l} \vec{v_r} = (2,1,3) \\ \vec{v_s} = (3,2,1) \\ A (-1,0,-1) \end{array} \right. \qquad \pi \equiv \left| \begin{array}{ccc} x+1 & y & z+1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right |=0$

Resolvemos el determinante, operamos y simplificamos.
Finalmente nos queda como ecuación del plano:
$\pi \equiv -5x+7y+z-4=0$

Ahora tenemos que buscar un punto de la recta "s" y hallar su distancia al plano
(usaremos la fórmula de la distancia de un punto a un plano)

$B (-4,-1,0) \in s$
$d(r,s)=d(B, \pi)=\frac{|(-5) \cdot (-4)+7 \cdot (-1)+1 \cdot 0 -4|}{+\sqrt{(-5)^2+7^2+1^2}}=\frac{9}{\sqrt{75}}$