Selectividad Andalucía 2018 Septiembre A4

Miércoles 22 de enero de 2020, por dani

Usaremos el método de los vectores para estudiar la posición relativa.
Recordemos que necesitamos un vector director de cada recta y un tercer vector formado por un punto de cada recta.

$r \equiv \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}$

$\vec{v_r} = (2,1,3)$

$s \equiv \left\{ 2x -3 y = -5 \atop y -2z = -1 \right.$

Pasamos la recta "s" a ecuaciones paramétricas

$s \equiv \left\{ \begin{array}{l} x = -4+3t \\ y = -1+2t \\ z = t \end{array} \right.$

$\vec{v_s} = (3,2,1)$

Formamos el tercer vector
$\vec{AB} = (-3,-1,1)$

Ahora podemos construir la matriz formada por los tres vectores

$M= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \end{array} \right )$

$|M|=9 \neq 0 \longrightarrow rg(M)=3$
Las rectas se cruzan.

– b) Tenemos que hallar la distancia entre dos rectas que se cruzan.
Usaremos el método 1 explicado en la teoría

Construimos un plano $\pi$ que contenga a y sea paralelo a

**Distancia entre rectas que se cruzan**

rectas que se cruzan sin cortarse en el espacio

$\pi \equiv \left\{ \begin{array}{l} \vec{v_r} = (2,1,3) \\ \vec{v_s} = (3,2,1) \\ A (-1,0,-1) \end{array} \right. \qquad \pi \equiv \left| \begin{array}{ccc} x+1 & y & z+1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right |=0$