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Optimización caja cuadrada sin tapadera

Queremos construir una caja de cartón (sin tapadera) de base cuadrada. Disponemos de un cartón de 1 metro cuadrado y queremos saber las dimensiones de la caja para que su volumen sea el máximo posible.

a) Realiza un esquema de la caja asignando incógnitas a los datos desconocidos
b) Encuentra la expresión que represente la superficie (4 lados + fondo) y la igualas a 1 (puesto que disponemos de 1 metro cuadrado de cartón)
c) Encuentra la función que exprese el volumen de la caja y exprésala con una sola variable
d) Encuentra un máximo a la función anterior e indica las medidas de la caja para que su volumen sea el mayor posible.

SOLUCIÓN

b) Superficie del fondo \longrightarrow  x^2
Superficie de un lateral \longrightarrow  x \cdot y
Superficie total \longrightarrow  x^2+4xy

x^2+4xy = 1

c) Volumen \longrightarrow  x^2 \cdot y

Despejamos "y" en la ecuación x^2+4xy = 1
x^2+4xy = 1 \longrightarrow  y=\frac{1-x^2}{4x}

Entonces ya podemos expresar el volumen con una sola variable

V(x) = x^2 \cdot y=x^{\cancel{2}} \cdot \frac{1-x^2}{4 \cancel{x}} = \frac{x(1-x^2)}{4}=\frac{x-x^3}{4}

d) Para buscar un máximo a la función volumen, calculamos su derivada y la igualamos a cero.
V^{\prime}(x)=\frac{1-3x^2}{4}

\frac{1-3x^2}{4}=0 \longrightarrow 1-3x^2=0 \longrightarrow 1=3x^2 \longrightarrow x^2=\frac{1}{3} \longrightarrow  x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}

Nos quedamos con la solución positiva puesto que se trata de una distancia.

Comprobamos que x=\sqrt{\frac{1}{3}} es un máximo, aplicando la derivada segunda.

V^{\prime\prime}(x)=\frac{-6x}{4}

V^{\prime\prime}\left(\sqrt{\frac{1}{3}} \right)=\frac{-6 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}{4} < 0 \longrightarrow es un máximo.

Calculamos ahora "y"

y=\frac{1-\left( \sqrt{\frac{1}{3}} \right)^2}{4 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}} = \frac{1-\frac{1}{3}} {4 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}

Si usamos la calculadora obtendremos las siguientes medidas aproximadas (en metros)

x=\sqrt{\frac{1}{3}} \cong \textcolor{blue}{0.58}

y=\frac{1-\frac{1}{3}} {4 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}}\cong \textcolor{blue}{0.29}

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