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Ejercicio calcular matriz inversa pro Gauss-Jordan

Calcula la inversa de la siguiente matriz usando el método de Gauss-Jordan
A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 5 \\
7 & 2
\end{array} \right)

SOLUCIÓN

Recordemos el esquema a seguir para aplicar el método de Gauss-Jordan

\left(
\begin{array}{cc|cc}
\bullet & \bullet & 1 & 0 \\
\bullet & \bullet & 0 & 1
\end{array}
\right) \stackrel{Gauss}{\longrightarrow}
\left(
\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 &\bullet & \bullet  \\
0 & 1 &\bullet & \bullet  
\end{array}
\right)

Orden a seguir

\left(
\begin{array}{cc}
\fbox{1} & \bullet  \\
\bullet & \bullet 
\end{array}
\right) \longrightarrow
\left(
\begin{array}{cc}
1 & \bullet  \\
\fbox{0} & \bullet 
\end{array}
\right) \longrightarrow
\left(
\begin{array}{cc}
1 & \bullet  \\
0 & \fbox{1} 
\end{array}
\right)  \longrightarrow
\left(
\begin{array}{cc}
1 & \fbox{0}  \\
0 & 1 
\end{array}
\right)

Lo aplicamos para el ejemplo

\left(
\begin{array}{cc|cc}
3 &5 & 1 & 0 \\
7 & 2 & 0 & 1
\end{array}
\right)  \frac{F_1}{3} \rightarrow F_1 \left(
\begin{array}{cc|cc}
3/3 &5/3 & 1/3 & 0/3 \\
7 & 2 & 0 & 1
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{cc|cc}
1 &5/3 & 1/3 & 0 \\
7 & 2 & 0 & 1
\end{array}
\right) 7F_1-F2 \rightarrow F_1
\left(
\begin{array}{cc|cc}
1 &5/3 & 1/3 & 0 \\
0 & 29/3 & 7/3 & -1
\end{array}
\right)

Ahora dividimos la 2ª fila entre 29/3 (o multiplicamos por 3/29)
F_2 \cdot \frac{3}{29} \rightarrow F_2 \quad \left(
\begin{array}{cc|cc}
1 &5/3 & 1/3 & 0 \\
0 & 1 & 7/29 & -3/29
\end{array}
\right)

El último cambio que nos queda es:

F_1-\frac{5}{3} \cdot F_2 \rightarrow F_1 \quad \left(
\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & -2/29 & 5/29 \\
0 & 1 & 7/29 & -3/29
\end{array}
\right)

Por tanto la inversa es A^{-1}=\left(
\begin{array}{cc}
\dfrac{-2}{29} & \dfrac{5}{29} \\
 & \\
 \dfrac{7}{29} & \dfrac{-3}{29}
\end{array}
\right)

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