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Ejercicio calcular matriz inversa pro Gauss-Jordan

Calcula la inversa de la siguiente matriz usando el método de Gauss-Jordan
$A=\left( \begin{array}{cc} 3 & 5 \\ 7 & 2 \end{array} \right)$

SOLUCIÓN

Recordemos el esquema a seguir para aplicar el método de Gauss-Jordan

$\left( \begin{array}{cc|cc} \bullet & \bullet & 1 & 0 \\ \bullet & \bullet & 0 & 1 \end{array} \right) \stackrel{Gauss}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 &\bullet & \bullet \\ 0 & 1 &\bullet & \bullet \end{array} \right)$

Orden a seguir

$\left( \begin{array}{cc} \fbox{1} & \bullet \\ \bullet & \bullet \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{cc} 1 & \bullet \\ \fbox{0} & \bullet \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{cc} 1 & \bullet \\ 0 & \fbox{1} \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{cc} 1 & \fbox{0} \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

Lo aplicamos para el ejemplo

$\left( \begin{array}{cc|cc} 3 &5 & 1 & 0 \\ 7 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right) \frac{F_1}{3} \rightarrow F_1 \left( \begin{array}{cc|cc} 3/3 &5/3 & 1/3 & 0/3 \\ 7 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right)$

$\left( \begin{array}{cc|cc} 1 &5/3 & 1/3 & 0 \\ 7 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right) 7F_1-F2 \rightarrow F_1 \left( \begin{array}{cc|cc} 1 &5/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 29/3 & 7/3 & -1 \end{array} \right)$

Ahora dividimos la 2ª fila entre 29/3 (o multiplicamos por 3/29)
$F_2 \cdot \frac{3}{29} \rightarrow F_2 \quad \left( \begin{array}{cc|cc} 1 &5/3 & 1/3 & 0 \\ 0 & 1 & 7/29 & -3/29 \end{array} \right)$

El último cambio que nos queda es:

$F_1-\frac{5}{3} \cdot F_2 \rightarrow F_1 \quad \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2/29 & 5/29 \\ 0 & 1 & 7/29 & -3/29 \end{array} \right)$

Por tanto la inversa es $A^{-1}=\left( \begin{array}{cc} \dfrac{-2}{29} & \dfrac{5}{29} \\ & \\ \dfrac{7}{29} & \dfrac{-3}{29} \end{array} \right)$