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Sistema resuelto por Gauss. Ejercicio 4439

Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema de ecuaciones

\left.
\begin{array}{r}
I_1=I_2+I_3 \\
 -20+50I_1+10I_2=0 \\
 -200-10I_2+15I_3=0
\end{array}
\right \}

SOLUCIÓN

Primero ordenamos el sistema y lo expresamos en forma matricial

\left.
\begin{array}{r}
I_1-I_2-I_3 =0 \\
50I_1+10I_2=20 \\
-10I_2+15I_3=200
\end{array}
\right \} \quad \left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & -1 & 0 \\
50 & 10 & 0 & 20 \\
0 & -10 & 15 & 200
\end{array}
\right )

Podemos dividir la Fila 2 entre 10 y la fila 3 entre 5 (quedará más simplificado)

\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & -1 & 0 \\
5 & 1 & 0 & 2 \\
0 & -2 & 3 & 40
\end{array}
\right )
\begin{array}{c}
 \: \\
5 \cdot F_1 - F_2 \rightarrow F_2 \\
 \:
\end{array}
\:
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & -1 & 0 \\
0 & -6 & -5 & -2 \\
0 & -2 & 3 & 40
\end{array}
\right )

Los cambios siguientes no son obligatorios, pero me van a hacer más fáciles las operaciones:
1) Multiplicar por (-1) la F2 (son todos negativos, se convierten a positivos)
2) Intercambiar F2 y F3 con objeto de que las fracciones sean "medios" en lugar de "sextos"

\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & -1 & 0 \\
0 & -2 & 3 & 40  \\
0 & 6 & 5 & 2
\end{array}
\right )\:\: \begin{array}{c}
 \: \\
\frac{F_2}{-2}  \rightarrow F_2 \\
 \:
\end{array}
\quad   \left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -3/2 & -20  \\
0 & 6 & 5 & 2
\end{array}
\right )

Nos queda el último cambio 6 F_2 - F_3 \rightarrow F_3

\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -3/2 & -20  \\
0 & 0 & -14 & -122
\end{array}
\right )

Ahora pasamos a ecuaciones y resolvemos el sistema escalonado "de abajo hacia arriba"

\left\{
\begin{array}{l}
I_1  -I_2  -I_3=0 \\
 I_2 -\frac{3}{2}I_3 = -20  \\
 -14I_3 = -122 \longrightarrow I_3=\frac{-122}{-14}  \longrightarrow \textcolor{blue}{I_3=\frac{61}{7}}
\end{array}
\right.

Ahora en la segunda ecuación:

 I_2 -\frac{3}{2}I_3 = -20
 I_2 -\frac{3}{2} \cdot \frac{61}{7} = -20
 I_2 = -20 + \frac{183}{14} \longrightarrow  \textcolor{blue}{I_2=\frac{-97}{14}}

Finalmente en la primera ecuación:

I_1  -I_2  -I_3=0
I_1  - \frac{-97}{14}  -\frac{61}{7}=0
I_1  = \frac{-97}{14}  +\frac{61}{7}=0 \longrightarrow  \textcolor{blue}{I_1=\frac{25}{14}}

moderación a priori

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