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Volumen y altura de Tetraedro. Geometría 3D

Calcula el volumen del tetraedro ABCD y la altura del vértice B sobre la cara ACD con los siguientes datos:
$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=3$ (producto mixto)
$|\vec{v} \times \vec{w}|=1$ (módulo de producto vectorial)
$\vec{AB} = \vec{u}-\vec{v}$
$\vec{AC} = \vec{w}$
$\vec{AD} = \vec{w}+2\vec{v}$

SOLUCIÓN

Usamos el producto mixto para calcular el volumen de un tetraedro con la fórmula:

$V= \frac{1}{6} \cdot \left| [\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] \right|$

El producto mixto de 3 vectores se calcula como un determinante donde cada vector es una fila
$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]=\left| \begin{array}{c} \vec{AB} \\ \vec{AC} \\ \vec{AD} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c} \vec{u}-\vec{v} \\ \vec{w} \\ \vec{w}+2\vec{v} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{c} \vec{u} \\ \vec{w} \\ \vec{w}+2\vec{v} \end{array} \right| - \left| \begin{array}{c} \vec{v} \\ \vec{w} \\ \vec{w}+2\vec{v} \end{array} \right| =$
Estamos aplicando las propiedades de los determinantes
$= \left| \begin{array}{c} \vec{u} \\ \vec{w} \\ \vec{w} \end{array} \right| + \left| \begin{array}{c} \vec{v} \\ \vec{w} \\ 2\vec{v} \end{array} \right| - \left| \begin{array}{c} \vec{v} \\ \vec{w} \\ \vec{w} \end{array} \right| - \left| \begin{array}{c} \vec{v} \\ \vec{w} \\ 2\vec{v} \end{array} \right| = 0 + 2 \cdot 3 - 0 - 0 =6$

Entonces el volumen es:
$V= \frac{1}{6} \cdot \left| 6 \right| = \fbox{1}$

Calculamos ahora la altura del vértice B sobre la cara ACD

Como tenemos el volumen, si conseguimos calcular el área de la base, tendremos el problema resuelto.

$Volumen = \frac{1}{3} \cdot Abase \times altura$

Calculamos el área de la base usando el producto vectorial

$A = \frac{1}{2} \cdot \left| \vec{AD} \times \vec{AC} \right|$

$\vec{AD} \times \vec{AC} = (\vec{w}+2\vec{v}) \times \vec{w} = \underbrace{\vec{w} \times \vec{w}}_{0}+ (2\vec{v}) \times \vec{w} = 2 \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$

$A = \frac{1}{2} \cdot \left| 2 \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \right| =\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot |\vec{v} \times \vec{w}|=1$

$V = \frac{1}{3} \cdot Abase \times altura$

$1 = \frac{1}{3} \cdot 1 \times altura \longrightarrow \fbox{altura=3}$