Volumen y altura de Tetraedro. Geometría 3D
SOLUCIÓN
Usamos el producto mixto para calcular el volumen de un tetraedro con la fórmula:
El producto mixto de 3 vectores se calcula como un determinante donde cada vector es una fila
![[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]=\left| \begin{array}{c}
\vec{AB} \\ \vec{AC} \\ \vec{AD}
\end{array} \right| = \left| \begin{array}{c}
\vec{u}-\vec{v} \\ \vec{w} \\ \vec{w}+2\vec{v}
\end{array} \right| = \left| \begin{array}{c}
\vec{u} \\ \vec{w} \\ \vec{w}+2\vec{v}
\end{array} \right| - \left| \begin{array}{c}
\vec{v} \\ \vec{w} \\ \vec{w}+2\vec{v}
\end{array} \right| = [\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]=\left| \begin{array}{c}
\vec{AB} \\ \vec{AC} \\ \vec{AD}
\end{array} \right| = \left| \begin{array}{c}
\vec{u}-\vec{v} \\ \vec{w} \\ \vec{w}+2\vec{v}
\end{array} \right| = \left| \begin{array}{c}
\vec{u} \\ \vec{w} \\ \vec{w}+2\vec{v}
\end{array} \right| - \left| \begin{array}{c}
\vec{v} \\ \vec{w} \\ \vec{w}+2\vec{v}
\end{array} \right| =](local/cache-vignettes/L520xH71/0e0733586a4afc90822a726b3bbe9594-7ebba.png?1688051220)
Estamos aplicando las propiedades de los determinantes
![= \left| \begin{array}{c}
\vec{u} \\ \vec{w} \\ \vec{w}
\end{array} \right| + \left| \begin{array}{c}
\vec{v} \\ \vec{w} \\ 2\vec{v}
\end{array} \right| - \left| \begin{array}{c}
\vec{v} \\ \vec{w} \\ \vec{w}
\end{array} \right| - \left| \begin{array}{c}
\vec{v} \\ \vec{w} \\ 2\vec{v}
\end{array} \right| = 0 + 2 \cdot 3 - 0 - 0 =6 = \left| \begin{array}{c}
\vec{u} \\ \vec{w} \\ \vec{w}
\end{array} \right| + \left| \begin{array}{c}
\vec{v} \\ \vec{w} \\ 2\vec{v}
\end{array} \right| - \left| \begin{array}{c}
\vec{v} \\ \vec{w} \\ \vec{w}
\end{array} \right| - \left| \begin{array}{c}
\vec{v} \\ \vec{w} \\ 2\vec{v}
\end{array} \right| = 0 + 2 \cdot 3 - 0 - 0 =6](local/cache-vignettes/L439xH68/5cdca550662ffe23092c20c005b84adb-588a6.png?1688051220)
Entonces el volumen es:
Calculamos ahora la altura del vértice B sobre la cara ACD
![](local/cache-vignettes/L228xH220/maties_4443-539ac.png?1688051220)
Como tenemos el volumen, si conseguimos calcular el área de la base, tendremos el problema resuelto.
Calculamos el área de la base usando el producto vectorial