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Problema de Jugador con lanzamiento parabólico

Un jugador patea un tiro libre, tal que la trayectoria de la pelota sigue la siguiente expresión y=-0.05x^2+0.7x, donde y es la altura en metros y x la distancia horizontal.

- a) ¿A qué distancia la pelota vuelve a tocar el piso (Si no hay ningún obstáculo)?
- b) Si se coloca una barrera de altura máxima 1.8m a 9 metros del pateador ¿La pelota
pasa la barrera? Justifica la respuesta.

SOLUCIÓN

y=-0.05x^2+0.7x es una función cuadrática, cuya gráfica es una parábola cóncava (vértice arriba) porque el coeficiente de x^2 es negativo (-0.05).
Además pasa por (0,0) por lo que podría ser así:

Si hallamos los puntos de corte con el eje X obtendremos los dos puntos en los que la pelota toca el suelo (que serán antes de lanzar y después al caer)

0=-0.05x^2+0.7x
Resolvemos la ecuación de segundo grado
x \cdot (-0.05x+0.7)=0
las dos posibles opciones son:

- \textcolor{blue}{x=0}
- -0.05x+0.7=0 \longrightarrow \textcolor{blue}{x=14}

Luego, vuelve a tocar el suelo a los 14 metros

b) Si se coloca una barrera de altura máxima 1.8m a 9 metros del pateador ¿La pelota
pasa la barrera? Justifica la respuesta.

En la imagen se puede ver la barrera.
Para justificar que la pelota pasa por encima, tenemos que demostrar que la función en el punto x=9 es mayor que 1.8

f(9)=-0.05 \cdot 9^2+0.7 \cdot 9 = 2.25 > 1.8

Por tanto, a los 9 metros la pelota va a una altura de 2.25 metros, con lo que pasa por encima de la barrera de 1.8 metros

Ver otro ejemplo de problemas con funciones cuadráticas

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