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Simplificar expresión trigonométrica. Ejercicio 4456

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica:

\dfrac{\left[ sen\left( \frac{x}{2} \right)- cos\left( \frac{x}{2} \right)\right]^2 \cdot (1+sen(x))}{sen(2x)}

SOLUCIÓN

\dfrac{\left[ sen\left( \frac{x}{2} \right)- cos\left( \frac{x}{2} \right)\right]^2 \cdot (1+sen(x))}{sen(2x)}


Aplicamos las fórmula de los productos notables para desarrollar el cuadrado

\left[ sen\left( \frac{x}{2} \right)- cos\left( \frac{x}{2} \right)\right]^2 =\underbrace{\left[ 
sen\left( \frac{x}{2} \right) \right]^2 +\left[ cos\left( \frac{x}{2} \right) \right]^2}_{1} - \underbrace{2 \cdot sen\left( \frac{x}{2} \right) \cdot cos\left( \frac{x}{2} \right)}_{ang-doble}=

1 - sen \left( 2 \cdot \left( \frac{x}{2} \right) \right) = 1 - sen(x)

Hemos aplicado la fórmula fundamental y la fórmula del ángulo doble

La expresión inicial queda de la forma:

\dfrac{(1-sen(x))\cdot (1+sen(x))}{sen(2x)} =

volvemos a aplicar las fórmulas de los productos notables

\dfrac{1^2 - sen^2(x)}{sen(2x)} =\dfrac{cos^2(x)}{sen(2x)}=\dfrac{cos^2(x)}{2 \cdot sen(x) \cdot cos(x)}=\dfrac{cos(x)}{2 \cdot sen(x)}=\fbox{\dfrac{cotg(x)}{2} }

Hemos aplicado nuevamente la fórmula fundamental y la fórmula del ángulo doble

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