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Recta por un punto paralela a un plano y cortando a otra recta

Dado el punto P(1,-2,1) , el plano \pi \equiv 2x-4y+z=15 y la recta r \equiv \frac{x}{-2}=y+1=\frac{z-2}{-1}

a) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r
b) Halla la ecuación de la recta que pasa por P, es paralela a \pi y corta a r

SOLUCIÓN

Todos los ejercicios de geometría 3D se puede hacer de muchas maneras.
Casi siempre es recomendable hacer el dibujo de la situación.

a) Nos piden un plano que contenga a una recta y pase por un punto

De la recta r podemos obtener un punto A y un vector director \vec{u}
Si consideramos el vector \vec{v}=\vec{AP} ya tendríamos un punto y dos vectores directores (lo cual determinaría el plano que nos piden)

Una vez definida la estrategia a seguir, procedemos a desarrollarla:

r \equiv \frac{x}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-1}


El punto es A(0,-1,2)
El vector es \vec{u}=(-2,1,-1)

El vector \vec{AP}=(1,-1,-1)

Con un punto y dos vectores construimos la ecuación del plano

Como no pide una ecuación determinada, podemos poner cualquier ecuación, por ejemplo las ecuaciones paramétricas:

\left\{ \begin{array}{lll}
x= -2\alpha  + \beta  \\  
y=-1+\alpha - \beta \\
z=2-\alpha - \beta 
\end{array}
\right.

b) Halla la ecuación de la recta que pasa por P, es paralela a \pi y corta a r
Ponemos primero los datos:
P(1,-2,1) \qquad \pi \equiv 2x-4y+z=15 \qquad r \equiv \frac{x}{-2}=y+1=\frac{z-2}{-1}

Antes de hacer el dibujo voy a comprobar la posición de la recta r y el plano \pi
Recuerda la teoría: Posición relativa de recta y plano

\begin{array}{ccr}
 & & \frac{x}{-2}=y+1 \longrightarrow x+2y=-2\\
  & \nearrow & \\
\frac{x}{-2}=y+1=\frac{z-2}{-1} & & \\
  & \searrow & \\
& & y+1=\frac{z-2}{-1}  \longrightarrow -y-z=-1
\end{array}

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones de la recta y la ecuación del plano
\left. \begin{array}{r}
x+2y=-2\\
-y-z=-1 \\
2x-4y+z=15
\end{array} \right \} \longrightarrow x=2 \: ; \: y=-2  \: ; \:  z=3
La recta y el plano se cortan en el punto A(2,-2,3).
Ahora ya puedo hacer el dibujo

Me piden la recta (en verde) s que pasa por P, es paralela al plano y corta a la recta r

La solución pasaría pro crear un plano paralelo a \pi por el punto P
Después hallamos el punto Q (intersección del nuevo plano con la recta r).

Con los puntos P y Q obtenemos la ecuación de la recta s que me piden

1) Plano paralelo a \pi \equiv 2x-4y+z=15 por el punto P(1,-2,1)

Todos los planos paralelos a \pi son de la forma:
2x-4y+z=k
Si pasa por P(1,-2,1) entonces:
2 \cdot 1 -4 \cdot (-2)+1=k \longrightarrow k=11
Por tanto el plano es 2x-4y+z=11

Hallamos Q haciendo la intersección del plano con la recta r

\begin{array}{ccr}
 & & \frac{x}{-2}=y+1 \longrightarrow x+2y=-2\\
  & \nearrow & \\
\frac{x}{-2}=y+1=\frac{z-2}{-1} & & \\
  & \searrow & \\
& & y+1=\frac{z-2}{-1}  \longrightarrow -y-z=-1
\end{array}

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones de la recta y la ecuación del plano
\left. \begin{array}{r}
x+2y=-2\\
-y-z=-1 \\
2x-4y+z=11
\end{array} \right \} \longrightarrow x=\frac{10}{9} \: ; \: y=\frac{-14}{9}  \: ; \:  z=\frac{23}{9}
La recta y el plano se cortan en el punto Q\left(\frac{10}{9}, \frac{-14}{9}, \frac{23}{9}\right)

Ahora el problema se reduce a encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(1,-2,1) y Q\left(\frac{10}{9}, \frac{-14}{9}, \frac{23}{9}\right)

Como punto tomamos P y como vector director
\vec{PQ}=\left(\frac{1}{9}, \frac{4}{9}, \frac{14}{9}\right)
o un vector proporcional como (1, 4, 14)

La ecuación de la recta que nos piden es:

\fbox{\textcolor{blue}{s \equiv \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+2}{4} = \dfrac{z-1}{9} }}

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