Recta por un punto paralela a un plano y cortando a otra recta

geometría3D

Dado el punto , el plano $\pi \equiv 2x-4y+z=15$ y la recta $r \equiv \frac{x}{-2}=y+1=\frac{z-2}{-1}$

a) Halla la ecuación del plano que pasa por P y contiene a r
b) Halla la ecuación de la recta que pasa por P, es paralela a $\pi$ y corta a r

SOLUCIÓN

Todos los ejercicios de geometría 3D se puede hacer de muchas maneras.
Casi siempre es recomendable hacer el dibujo de la situación.

a) Nos piden un plano que contenga a una recta y pase por un punto

De la recta r podemos obtener un punto A y un vector director $\vec{u}$
Si consideramos el vector $\vec{v}=\vec{AP}$ ya tendríamos un punto y dos vectores directores (lo cual determinaría el plano que nos piden)

Una vez definida la estrategia a seguir, procedemos a desarrollarla:

$r \equiv \frac{x}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-1}$

El punto es

El vector es $\vec{u}=(-2,1,-1)$

El vector $\vec{AP}=(1,-1,-1)$

Con un punto y dos vectores construimos la ecuación del plano

Como no pide una ecuación determinada, podemos poner cualquier ecuación, por ejemplo las ecuaciones paramétricas:

$\left\{ \begin{array}{lll} x= -2\alpha + \beta \\ y=-1+\alpha - \beta \\ z=2-\alpha - \beta \end{array} \right.$

b) Halla la ecuación de la recta que pasa por P, es paralela a \pi y corta a r
Ponemos primero los datos:
$P(1,-2,1) \qquad \pi \equiv 2x-4y+z=15 \qquad r \equiv \frac{x}{-2}=y+1=\frac{z-2}{-1}$

Antes de hacer el dibujo voy a comprobar la posición de la recta y el plano $\pi$
Recuerda la teoría: Posición relativa de recta y plano

$\begin{array}{ccr} & & \frac{x}{-2}=y+1 \longrightarrow x+2y=-2\\ & \nearrow & \\ \frac{x}{-2}=y+1=\frac{z-2}{-1} & & \\ & \searrow & \\ & & y+1=\frac{z-2}{-1} \longrightarrow -y-z=-1 \end{array}$

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones de la recta y la ecuación del plano
$\left. \begin{array}{r} x+2y=-2\\ -y-z=-1 \\ 2x-4y+z=15 \end{array} \right \} \longrightarrow x=2 \: ; \: y=-2 \: ; \: z=3$
La recta y el plano se cortan en el punto A(2,-2,3).
Ahora ya puedo hacer el dibujo

Me piden la recta (en verde) s que pasa por P, es paralela al plano y corta a la recta r

La solución pasaría pro crear un plano paralelo a $\pi$ por el punto P
Después hallamos el punto Q (intersección del nuevo plano con la recta r).

Con los puntos P y Q obtenemos la ecuación de la recta s que me piden

1) Plano paralelo a $\pi \equiv 2x-4y+z=15$ por el punto

Todos los planos paralelos a $\pi$ son de la forma:

Si pasa por entonces:
$2 \cdot 1 -4 \cdot (-2)+1=k \longrightarrow k=11$
Por tanto el plano es

Hallamos Q haciendo la intersección del plano con la recta r

$\begin{array}{ccr} & & \frac{x}{-2}=y+1 \longrightarrow x+2y=-2\\ & \nearrow & \\ \frac{x}{-2}=y+1=\frac{z-2}{-1} & & \\ & \searrow & \\ & & y+1=\frac{z-2}{-1} \longrightarrow -y-z=-1 \end{array}$

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones de la recta y la ecuación del plano
$\left. \begin{array}{r} x+2y=-2\\ -y-z=-1 \\ 2x-4y+z=11 \end{array} \right \} \longrightarrow x=\frac{10}{9} \: ; \: y=\frac{-14}{9} \: ; \: z=\frac{23}{9}$
La recta y el plano se cortan en el punto $Q\left(\frac{10}{9}, \frac{-14}{9}, \frac{23}{9}\right)$