Cálculo de límites de funciones racionales (IV)

Cálculo de límites de funciones racionales cuando x tiende a un infinito

Indeterminación \frac{\infty}{\infty}

Si f(x)=a_nx^n+ ... + a_1x+a_0
y g(x)=b_mx^m+ ... + b_1x+b_0 son funciones polinómicas de cualquier grado, entonces:

\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{a_nx^n+ ... + a_1x+a_0}{b_mx^m+ ... + b_1x+b_0} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty}  \frac{a_nx^n}{b_mx^m}

Es decir, basta con tomar los términos de mayor grado (en numerador y denominador) y despreciar el resto.

No obstante, siempre se obtiene una INDETERMINACIÓN del tipo \frac{\infty}{\infty}
Se resuelve dividiendo numerador y denominador por x elevado al menor de los grados (de numerador y denominador).
Por ejemplo, si grado(numerador)=4 y grado(denominador)=3 dividimos por x^3

Veamos unos ejemplos:

\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^3+4x^2-5x+6}{5x^3+2x-3} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty}  \frac{2x^3}{5x^3}= \frac{2}{5}

Cuando numerador y denominador son polinomios del mismo grado, el límite es el cociente entre los coeficientes de los términos de mayor grado

\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^3+x^2-5}{x^4+2x^3-2x+1} =\lim\limits_{x \rightarrow \infty}  \frac{2x^3}{x^4}=\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{x}= \frac{2}{\infty}=0

Cuando el grado del denominador es mayor, el límite es siempre cero

\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{5x^3+x^2-3}{-2x^2-7} =\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}  \frac{5x^3}{-2x^2}=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{5x}{-2}= \frac{5 \cdot (-\infty)}{-2}=\frac{-\infty}{-2}=+\infty

Cuando el grado del numerador sea mayor, el resultado siempre será un infinito
(+\infty o -\infty según los coeficientes).

Ver explicación en VÍDEO