Estudio Global de Funciones

Realiza un estudio global (dominio, simetrías, corte con los ejes, asíntotas, monotonía, extremos y representación gráfica) de la función:
f(x) = x^4-3x^2

SOLUCIÓN

Estudio global de f(x) = x^4-3x^2

Dominio

Dom(f) = R
El dominio de cualquier función polinómica es "todos los números reales"

Asíntotas

Una función polinómica no tiene asíntotas.

Simetrías

f(-x) = (-x)^4-3(-x)^2 = x^4-3x^2 = f(x)
Es una función par (simétrica respecto al eje OY)

Corte con los ejes

- Si x = 0 entonces y = 0. Punto:(0,0)
- Si y=0 entonces x^4-3x^2=0. Resolvemos la ecuación:
x^2(x^2-3)=0 de donde:
\rightarrow x=0
\rightarrow x^2-3=0 \Longrightarrow x=\pm \sqrt3
Puntos: (0,0) , (\sqrt3,0) , (-\sqrt3,0)

Monotonía

f’(x)=4x^3-6x
f’(x)=0 \Longrightarrow 4x^3-6x=0 \Longrightarrow x(4x^2-6)=0
De donde:
\rightarrow x=0
\rightarrow 4x^2-6=0 \Longrightarrow x=\pm \sqrt\frac32
Intervalos:
(-\infty, -\sqrt\frac32) , (-\sqrt\frac32 , 0) , (0, +\sqrt\frac32) , (+\sqrt\frac32 , +\infty)

Tomamos un punto de cada intervalo para ver el signo de la derivada (positivo significa creciente y negativo decreciente)

- f’(-2) = 4(-2)^3-6(-2)=-32+12=-20 < 0\Longrightarrow DECRECIENTE
- f’(-1) = 4(-1)^3-6(-1)=-4+6=2 > 0\Longrightarrow CRECIENTE
- f’(1) = 4(1)^3-6(1)=4-6=-2 < 0\Longrightarrow DECRECIENTE
- f’(2) = 4(2)^3-6(2)=32-12=20 > 0\Longrightarrow CRECIENTE

Extremos

Aplicamos la derivada segunda a los puntos 0 , \pm \sqrt3/2 f’’(x) = 12x^2-6 - f’’(0) = -6 < 0 \Longrightarrow MÁXIMO en x=0
- f’’(-\sqrt3/2) = 12\frac32-6=12 > 0 \Longrightarrow MÍNIMO en x=-\sqrt3/2
- f’’(-\sqrt3/2) = 12\frac32-6=12 > 0 \Longrightarrow MÍNIMO en x=+\sqrt3/2
Calculemos la imagen de los extremos para conocer la segunda coordenada:
- f(0) = 0^4-3 \cdot 0^2 = 0 \Longrightarrow MAX(0,0)
- f\left(-\sqrt3/2 \right) = \left( -\sqrt3/2\right)^4-3 \cdot \left( -\sqrt3/2 \right)^2 = -2.25 \Longrightarrow MIN(-\sqrt3/2, -2.25)
- f\left(+\sqrt3/2 \right) = \left( +\sqrt3/2\right)^4-3 \cdot \left( +\sqrt3/2 \right)^2 = -2.25 \Longrightarrow MIN(+\sqrt3/2, -2.25)

Gráfica

Con los datos obtenidos anteriormente:


podemos ya dibujar la gráfica: