Selectividad Andalucía 2002-4-B3

Determina la matriz X que verifica la ecuación AX = X-B siendo

A =
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1
\\ 0 & 0 & 0
\\ -1 & 0 & 0
\end{array}
\right)
 \qquad y  \qquad B =
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1
\\ 0 & 1 & 1
\\ 0 & -1 & -1
\end{array}
\right)

SOLUCIÓN

Resolveremos la ecuación matricial usando este método, para el que es necesario saber calcular la inversa de una matriz.

AX = X-B
AX -X= -B
(A-I) \cdot X  -B
(A-I)^{-1} \cdot (A-I) \cdot X =(A-I)^{-1} \cdot (-B)
 X =(A-I)^{-1} \cdot (-B)

A-I =
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 1
\\ 0 & -1 & 0
\\ -1 & 0 & -1
\end{array}
\right)
Calculamos la inversa usando la fórmula y obtenemos:

(A-I)^{-1} =
\left(
\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2}
\\ 0 & -1 & 0
\\  \frac{1}{2}& 0 & -\frac{1}{2}
\end{array}
\right)
Ya sólo queda multiplicarla por la matriz (-B)
 X =(A-I)^{-1} \cdot (-B)
 X =\left(
\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2}
\\ 0 & -1 & 0
\\  \frac{1}{2}& 0 & -\frac{1}{2}
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & -1
\\ 0 & -1 & -1
\\ 0 & 1 & 1
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0
\\ 0 & 1 & 1
\\  -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2} & -1
\end{array}
\right)