Calcular matriz inversa usando determinantes

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Para calcular la matriz inversa de una matriz A, usaremos la fórmula:

A^{-1}=\frac{1}{|A|} \cdot \left( Adj(A)\right)^t

– En primer lugar calculamos el determinante de A. Si det(A)=0 la matriz A no tiene inversa (hemos terminado). Si det(A)\neq 0 continuamos:
– Ahora calculamos la matriz adjunta Adj(A)
– A la matriz adjunta, que acabamos de calcular, le hacemos su traspuesta.
– Finalmente dividimos todos los elementos de la matriz resultante por det(A)

Ejemplo

Vamos a calcular la inversa de la matriz A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right)

– Calculamos el determinante: |A| = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right| = 0+2+1-0-0-6 = -3

– Calculamos la matriz adjunta Adj(A) = \left( \begin{array}{ccc} -1 & -5 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -2 \end{array} \right)

– Le hacemos la traspuesta: (Adj(A))^t = \left( \begin{array}{ccc} -1 & -2 & 1 \\ -5 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \end{array} \right)

– Por últimos, dividimos por -3 (valor de |A|)

A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \\ \frac{5}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\ \\ -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array} \right)