Selectividad Andalucía 2013-2-A3

Considera las matrices


A =
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1
\\ 1 & 1 & 0
\\ 0 & 0 & 2
\end{array}
\right)
y B =
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 1
\\ 1 & -1 & 1
\\ 0 & 0 & -1
\end{array}
\right)

- (a) Halla, si es posible, A^{-1} y B^{-1}
- (b) Halla el determinante de A B^{2013} A^t siendo A^t la matriz traspuesta de A
- (c) Calcula la matriz X que satisface AX - B = AB

SOLUCIÓN

- a) A^{-1} =
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -\frac{1}{2}
\\ -1 & 1 & \frac{1}{2}
\\ 0 & 0 & \frac{1}{2}
\end{array}
\right)

La matriz B no tiene inversa porque |B|=0

- b) |A \cdot B^{2013} \cdot A^t| =
|A| \cdot |B^{2013}| \cdot |A^t| =
2 \cdot |B|^{2013} \cdot 2 =
2 \cdot 0^{2013} \cdot 2 = 0

- c) AX - B = AB
AX  = AB + B
A^{-1}AX  = A^{-1}(AB + B)
X  = A^{-1}(AB + B)
X  = B + A^{-1}B

Haciendo las operaciones queda:

X =
\left(
\begin{array}{ccc}
-2 & 2 & \frac{5}{2}
\\ 3 & -3 & \frac{1}{2}
\\ 0 & 0 & \frac{-3}{2}
\end{array}
\right)