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Funciones gráfica

Represente gráficamente la siguiente función:

$f(x) = \frac{3x-2}{x+1}$

Indica dominio, monotonía y asíntotas

SOLUCIÓN

$Dom(f) = R - \{-1\}$

Asíntota vertical: $\fbox{x=-1}$
Asíntota horizontal: $\fbox{y=3}$

Monotonía. Se trataa de un hipérbola (son siempre crecientes o siempre decrecientes).
Hacemos el estudio de la monotonía mediante el signo de la derivada primera:
$f’(x) = \frac{5}{(x+1)^2}$
La ecuación $f’(x) = \frac{5}{(x+1)^2} =0$ no tiene ninguna solución.
Para construir los intervalos (de crecimiento y decrecimiento), además de las soluciones de la ecuación anterior, se usan los puntos de corte o discontinuidad (en nuestro caso x=-1), por tanto los intervalos serían:
$(-\infty,-1)$ y $(-1,+\infty)$

Podemos observar que la derivada $f’(x) = \frac{5}{(x+1)^2}$ es siempre positiva (el numerador es positivo y el denominador es un cuadrado, por tanto también positivo).
La función es creciente en ambos intervalos, al ser siempre la derivada positiva.

La gráfica de la función es la siguiente: