Matrices, Determinantes y Sistemas

(245) ejercicios de Matemáticas PAU Andalucía

(66) ejercicios de Matemáticas II — Álgebra (Matrices, Determinantes y Sistemas)

Dada la matriz
$A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & k\\ k & 1 & 3\\ 1 & 7 & k \end{array} \right)$

– (a) Estudia el rango de $A$ en función de los valores del parámetro $k$ .
– (b) Para $k = 0$ , halla la matriz inversa de $A$ .

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– (a) Determina razonadamente los valores del parámetro $m$ para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

$\left. \begin{array}{ccc} 2x+y+z & = & mx \\ x + 2y+ z & = & my \\ x + 2y+ 4z & = & mz \end{array} \right\}$

– (b) Resuelve el sistema anterior para el caso $m = 0$ y para el caso $m = 1$ .

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Considera la matriz
$\left( \begin{array}{ccc} 1 &1 &1 \\ m &m^2 & m^2 \\ m & m & m^2 \end{array} \right)$

– a) Halla los valores del parámetro $m$ para los que el rango de A es menor que 3
– b) Estudia si el sistema
$A \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)$ tiene solución para cada uno de los valores de m obtenidos en el apartado anterior.

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Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones para ls valores de $m$ que lo hacen compatible:
$\left. \begin{array}{ccc} x+my & = & m \\ mx+ y & = & m \\ mx+my & = & 1 \end{array} \right\}$

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– (a) Calcula el valor de $m$ para el que la matriz
$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 1 & m\end{array} \right)$
verifica la relación $2A^2-A=I$ y determina $A^{-1}$ para dicho valor de $m$

– (b) Si $M$ es una matriz cuadrada que verifica la relación $2M^2-M=I$ , determina la expresión de $M^{-1}$ en función de $M$ y de $I$ .

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