Selectividad Andalucía 2008-6-A3

, por dani

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– (a) Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene más de una solución:

\left. \begin{array}{ccc} 2x+y+z & = & mx \\ x + 2y+ z & = & my \\ x + 2y+ 4z & = & mz \end{array} \right\}

– (b) Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1.

SOLUCIÓN:

– a) Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes: |A| = -m^3+8m^2-16m+9
Igualamos a cero y resolvemos la ecuación:
-m^3+8m^2-16m+9=0 \longrightarrow m=1 ; m=\frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}

Cuando m\neq 1 y m \neq \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2} el det(A) será distinto de cero y entonces rg(A)=3 = rg(A*)=nº inc. (S.C.D.)

Para m=1 y para m=\frac{7 \pm \sqrt{13}}{2} el sistema tiene infinitas soluciones pues rg(A)=2=rg(A*)<nºinc. (S.C.I.)

– b) Para m=0 es S.C.Det. con la única solución x=0; y=0; z=0
Para m=1 es S.C. Indet. (infinitas soluciones). Las soluciones son:
\left. \begin{array}{ccc} x = t \\ y = -2t \\ z = t \end{array} \right\}