Matemáticas IES - Matemáticas IES

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Sabiendo que el determinante de la matriz $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{pmatrix}$ es 3, halla los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

a) det( $A^3$ ), det( $A^{-1}$ ), det( $A + A^t$ ) ( $A^t$ indica la traspuesta de $A$ ).

b) det $\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & e & f \\ 2b & 2d & 2e \end{pmatrix}$ .

c) det $\begin{pmatrix} a & b & 4a - c \\ b & d & 4b - e \\ c & e & 4c - f \end{pmatrix}$ .

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Considera el siguiente sistema de ecuaciones

$\begin{cases} mx - 2y + z = 1 \\ x - 2my + z = -2 \\ x - 2y + mz = 1 \end{cases}$

a) Discute el sistema según los valores del parámetro $m$ .

b) Si es posible, resuelve el sistema para $m = -2$ .

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De entre todos los triángulos rectángulos de área $8$ cm², determina las dimensiones del que tiene la hipotenusa de menor longitud.

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Considera las matrices

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

Determina, si existe, la matriz $X$ que verifica $AX + B = A^2$ .

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Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de $125\ m^3$ . Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.

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Sea $f$ la función definida por $f(x) = x \ln(x + 1)$ para $x > -1$ ( $\ln$ denota el logaritmo neperiano). Determina la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(1,0)$ .

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Se sabe que el determinante de la matriz $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ es $-3$ . Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

a) $\det(-2A)$ y $\det(A^{-1})$ .

b) $\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 7a_{11} & 7a_{12} & 7a_{13} \\ 2a_{31} & 2a_{32} & 2a_{33} \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} + 2a_{31} & 5a_{31} \\ a_{12} & a_{22} + 2a_{32} & 5a_{32} \\ a_{13} & a_{23} + 2a_{33} & 5a_{33} \end{vmatrix}$ .

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Calcula $\int_{-1}^{1} \ln(4 - x)\,dx$ (ln denota el logaritmo neperiano).

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Considera el siguiente sistema de ecuaciones con incógnitas $x$ , $y$ , $z$ ,

$\begin{cases} \lambda y + (\lambda + 1) z = \lambda \\ \lambda x + z = \lambda \\ x + \lambda z = \lambda \end{cases}$

a) Discute el sistema según los valores del parámetro $\lambda$ .

b) Resuelve el sistema para $\lambda = 1$ .

c) Para $\lambda = 0$ , si es posible, da tres soluciones distintas.

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Considera las matrices

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -5 & 3 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

Halla la matriz $X$ que verifica $A^{-1}XA = B - A$ .

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Sea $f: (-1,3) \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \frac{x + 9}{(x + 1)(x - 3)}$ . Determina la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(1,0)$ .

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Sabiendo que el determinante de la matriz $A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ es 2, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilices:

a) $det(3A)$

b) $det(A^{-1})$

c) $\begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3x & 2y & z \\ 3 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

d) $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x + 2 & y + 4 & z + 6 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$

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Calcula $\int_{0}^{1} \frac{x^2}{2x^2 - 2x - 4}\,dx.$

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Sea $f : R \longrightarrow R$ la función definida por $f(x) = e^x \cdot cos(x)$

– a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abcisa $x=0$
– b) Calcula la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(0,0)$

📝 Ejercicios de MatematicasII_Andalucia_2014