Aproximación de la Binomial a la Normal 4436

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Un jugador de baloncesto encesta 4 de cada 5 tiros libres que lanza. Si esta temporada ha lanzado 90 tiros libres, calcula la probabilidad de que haya encestado 80 o más tiros libres.

SOLUCIÓN

Se trata de una distribución Binomial donde la variable X representa el número de tiros encestados, la probabilidad de éxito (encestar) es p=4/5 = 0.8 y el número de veces que se repite el experimento es n=90.

X \longrightarrow B(n,p)


X \longrightarrow B(90, 0.8)

Si lo hacemos por el método clásico de la Binomial:
P(X \geq 80) =P(X=80)+P(X=81)+ \cdots + P(X=90)
tendríamos demasiadas operaciones.

Mejor hacerlo aproximando la Binomial a la Normal
Entonces tendremos que:

X \longrightarrow N(np,\sqrt{npq})


X \longrightarrow N(90 \cdot 0.8,\sqrt{90 \cdot 0.8 \cdot 0.2})


X \longrightarrow N(72, 3.8)

P(X \geq 80) \stackrel{\textcolor{blue}{(1)}}{=} P(X^{\prime} \geq 80-0.5)=P(X^{\prime} \geq 79.5) \stackrel{\textcolor{blue}{(2)}}{=} P(Z \geq \frac{79.5-72}{3.8})=
P(Z \geq 1.97)=1-P(Z \leq 1.97) = 1- 0.9756 = \fbox{0.0244}

\textcolor{blue}{(1)} corrección de Yates
\textcolor{blue}{(2)} tipificamos