Calcular suma de términos conociendo dos de los términos

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progresiones_aritméticas

De una progresión aritmética sabemos que $a_{42}=314$ y $a_{45}=338$ .
Calcula la suma de los 50 primeros términos

SOLUCIÓN

Podemos calcular la diferencia de una progresión geométrica si conocemos dos de sus términos:

$a_{45} = a_{42} + 3 \cdot d$

Si no vemos claro lo anterior, aquí pongo una demostración:

$a_{45} = a_{44} + d$
$a_{45} = a_{43} + d + d$
$a_{45} = a_{42} + d + d + d$

Por tanto calculamos la diferencia:

$24 = 3 d \longrightarrow \frac{24}{3} =d \longrightarrow \fbox{8=d}$

Para calcular la suma de los 50 primeros términos usamos la fórmula

$S_{50} = \frac{(a_1+ a_{50}) \cdot 50}{2}$

Necesitamos por tanto calcular los términos y $a_{50}$

$a_{50} = a_{45} + 5d$
$a_{50} = 338 + 5 \cdot 8$
$a_{50} = 338 + 40$
$a_{50} = 378$

Para calcular podemos usar la fórmula del término general $a_n=a_1 + (n-1) \cdot d$ que para sería:

$a_{42} = a_1 + 41 \cdot d$
$314 = a_1 + 41 \cdot 8$

Ahora ya podemos aplicar la fórmula de la suma de los primeros 50 términos:

$S_{50} = \frac{(a_1+ a_{50}) \cdot 50}{2}$

$S_{50} = \frac{(-14+ 378) \cdot 50}{2}$

$S_{50} = 9100$