Ecuación del plano 4199

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Dados los puntos A(3,-2,-2), B(1,0,1) y C(2,1,-1)
y el plano \alpha : \left\{ \begin{array}{ccc} x & = & 1 - \lambda + \mu \\ y & = & \lambda - \mu \\ z & = & 2 - \lambda - \mu \end{array} \right.

Se pide:

a) Comprueba si los puntos A, B y C pertenecen al plano.

b) Halla la ecuación general del plano.

SOLUCIÓN

b) Hallamos la ecuación general del plano

\left| \begin{array}{ccc} x-1 & y & z-2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right|=0

Resolviendo el determinante y simplificando obtenemos:
\fbox{-2x-2y+2=0}

a) Para comprobar si un punto pertenece al plano, basta con comprobar que cumple la ecuación del plano
A(3,-2,-2)
-2 \cdot 3 -2 \cdot (-2) +2=0 \rightarrow A \in \alpha

b(1,0,1)
-2 \cdot 1 -2 \cdot 0 +2=0 \rightarrow B \in \alpha

C(2,1,-1)
-2 \cdot 2 -2 \cdot 1 +2 \neq 0 \rightarrow C \notin \alpha