Ejercicio 2652 - Cuarto vértice de un paralelogramo

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Los puntos A(1,3,-1) , B(2,0,2) y C(4,-1,-3) son los vértices consecutivos de un paralelogramo. Halla el cuarto vértice y el centro del paralelogramo

SOLUCIÓN

Si miramos el siguiente esquema:


– Para hallar el centro del paralelogramo, basta con calcular el punto medio del segmento AC

Sean (x,y,z) las coordenadas del punto medio M(x,y,z)
M \left(\frac{1+4}{2}, \frac{3-1}{2}, \frac{-1-3}{2} \right) Por tanto
M \left(\frac{5}{2}, 1, -2 \right)

– Para hallar el vértice D podemos seguir varios métodos

1) \vec{AB} = \vec{DC}
(se pueden plantear otras igualdades de vectores parecidas)
Supongamos que el punto D tiene de coordenadas D(x,y,z)
\vec{AB} = \vec{DC}
(1,-3,3) = (4-x, -1-y, -3-z)
Igualando coordenada a coordenada:
1=4-x \longrightarrow x=3
-3=-1-y \longrightarrow y=2
3 = -3-z \longrightarrow z=-6
Por tanto \fbox{D(3,2,-6)}

2) Otro método es plantear la siguiente igualdad: \vec{BA} + \vec{BC} = \vec{BD}