Ejercicio Continuidad

Halla los valores de y para que la siguiente función sea continua en todo

$f(x) = \left\{ \begin{array}{rcr} 1+cos \: x & si & x \leq 0 \\ 2(a-x) & si & 0 < x < 1 \\ \frac{b}{x^2} & si & x \geq 1 \end{array} \right.$

SOLUCIÓN

En $(-\infty,0)$ es continua?
es continua en R y por tanto también lo es en $(-\infty,0)$

En es continua?
es una función polinómica continua en R y por tanto también lo es en

En $(1, +\infty)$ es continua?
$\frac{b}{x^2}$ es continua en $R-\{0\}$ , por tanto es continua en $(1, +\infty)$

Por tanto, tenemos garantizada la continuidad en los 3 intervalos anteriores, independientemente de lo que valgan a y b

Veamos ahora la continuidad en los puntos críticos (puntos que separan dos trozos)

En ¿es continua?

Debemos aplicar la definición de continuidad en un punto

$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = 1 + cos(0) = 1+1=2$

$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = 2(a-0) = 2a$

Para que sea continua en , los tres resultados anteriores deben ser iguales, por tanto $2a=2 \longrightarrow \textcolor{blue}{a=1}$

En ¿es continua?

$f(1) = \frac{b}{1^2}=b$

$\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = 2(a-1) = 2(1-1)=0$

$\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \frac{b}{1^2}=b$

Para que sea continua en , los tres resultados anteriores deben ser iguales, por tanto $\textcolor{blue}{b=0}$

La función será continua en todo R cuando a=1 y b=0