Ejercicio Integrales Cociente de Polinomios

Resuelve la integral:

$\int \frac{5x-3}{x^3-x} dx$

SOLUCIÓN

Tenemos una integral racional con una fracción algebraica que debemos descomponer en una suma de fracciones algebraicas simples.

Factorizamos el denominador
$x^3-x = x \cdot (x^2-1) = x \cdot (x-1) \cdot (x+1)$

Entonces tenemos $\frac{5x-3}{x^3-x}=\frac{5x-3}{x \cdot (x-1) \cdot (x+1)}$

Como son raíces reales simples descomponemos de la forma:

$\frac{5x-3}{x^3-x}=\frac{5x-3}{x (x-1) (x+1)} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}$

Operamos

$\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1} =\frac{A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)}{x (x-1) (x+1)}$

Entonces tenemos la igualdad

$\frac{5x-3}{x^3-x}=\frac{A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)}{x (x-1) (x+1)}$

Igualamos los numeradores

Dando valores a "x" obtenemos A, B y C

Si $x=0 \longrightarrow -3 = -A \longrightarrow \textcolor{blue}{A=3}$

Si $x=1 \longrightarrow 2 = 2B \longrightarrow \textcolor{blue}{B=1}$

Si $x=-1 \longrightarrow -8 = 2C \longrightarrow \textcolor{blue}{C=-4}$

Como resultado de la descomposición tenemos:

$\frac{5x-3}{x^3-x}= \frac{3}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{-4}{x+1}$

Por tanto la integral será:

$\int \frac{5x-3}{x^3-x}dx=\int \frac{3 \cdot dx}{x}+\int \frac{dx}{x-1}+\int \frac{-4 \cdot dx}{x+1}=$

$\fbox{3 \cdot Ln|x|+Ln|x-1| -4 \cdot Ln|x+1| + C}$