Ejercicio vectores en el espacio

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Consideramos los puntos A(1,1,0) , B(0,1,2) y C(1,1,1).

- a) Calcula d(A,B) (distancia entre los puntos A y B)
- b) \vec{AB} \cdot \vec{AC} (producto escalar)
- c) Calcula el perímetro del triángulo de vértices A, B y C
- d) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C

SOLUCIÓN

Preparamos los vectores que necesitaremos en los siguientes apartados:
\vec{AB}=(-1,0,2) , \vec{AC}=(0,0,1) , \vec{BC}=(1,0,-1)

- a) d(A,B)=|\vec{AB}|=+ \sqrt{(-1)^2+0^2+2^2}=+\sqrt{5}
- b) \vec{AB} \cdot \vec{AC}=(-1) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2
- c) Perímetro = d(A,B) + d(B,C) + d(C,A)=
+\sqrt{5}+\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}+\sqrt{0^2+0^2+1^1} =
=+\sqrt{5}+\sqrt{2}+\sqrt{1} = \sqrt{5}+\sqrt{2}+1
- d) Calculamos el área del triángulo con la fórmula:
Área = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|

\vec{AB} \times \vec{AC}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = 0\vec{i}+1\vec{j}+0\vec{k}

Por tanto, Área = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2} = \frac{1}{2}