Matrices Selectividad Cantabria

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Resuelva la ecuación matricial $AX+B=A^2$ , siendo las matrices

$A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$ ;
$B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array} \right)$

SOLUCIÓN

$AX+B=A^2$
$AX=A^2 - B$
$A^{-1} \cdot AX=A^{-1} \cdot (A^2 - B)$
$I \cdot X=A^{-1} \cdot (A^2 - B)$
$X=A^{-1} \cdot (A^2 - B)$

Tenemos que calcular la inversa de A siguiendo este procedimiento y obtendremos:
$A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right)$

Además debemos calcular
$A^2-B = (A \cdot A) -B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right)- \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -2\end{array} \right)$

$X=A^{-1} \cdot (A^2 - B)=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & -2\end{array} \right)$

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