Matrices Selectividad Cantabria

, por dani

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Resuelva la ecuación matricial AX+B=A^2 , siendo las matrices

A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) ;
B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array} \right)

SOLUCIÓN:

AX+B=A^2
AX=A^2 - B
A^{-1} \cdot AX=A^{-1} \cdot (A^2 - B)
I \cdot X=A^{-1} \cdot (A^2 - B)
X=A^{-1} \cdot (A^2 - B)

Tenemos que calcular la inversa de A siguiendo este procedimiento y obtendremos:
A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right)

Además debemos calcular
A^2-B = (A \cdot A) -B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right)- \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -2\end{array} \right)

X=A^{-1} \cdot (A^2 - B)=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & -2\end{array} \right)