Optimización 3 campos cuadrados con suma de áreas mínima

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Calcula las dimensiones de tres campos cuadrados que no tienen ningún lado en común y que satisfacen que el perímetro de uno de ellos es el triple que el de otro y, además, se necesitan 1248 metros de valla para vallar completamente los tres campos, de manera que la suma de las áreas es la mínima posible.

SOLUCIÓN

Llamamos x,y,z a los lados de los 3 cuadrados

"el perímetro de uno de ellos es el triple que el de otro"

4x= 3 \cdot 4y \longrightarrow \color{blue}{x=3y}

"se necesitan 1248 metros de valla para vallar completamente los tres campos"

4x+4y+4z=1248

4 \cdot 3y+4y+4z=1248 \rightarrow 16y+4z=1248 \rightarrow \color{blue}{z=312-4y}

"la suma de las áreas es la mínima posible"

La función a optimizar es \: \fbox{x^2+y^2+z^2}

En los resultados azules tenemos "x" y "z" en función de "y"
Sustituyendo en la función a optimizar, ya solo queda una variable

x^2+y^2+z^2


f(y) =(3y)^2+y^2+(312-4y)^2

f(y) =9y^2+y^2+312^2 +16y^2 - 2496y
f(y) =26y^2 - 2496y + 97344

Se trata de una parábola convexa que tendrá su mínimo en el vértice.

También podemos calcular el mínimo derivando

f^\prime(y) =52y - 2496

f^\prime(y) =0 \longrightarrow 52y - 2496=0 \longrightarrow \fbox{y= 48}

x=3y \longrightarrow x=3 \cdot 48 \longrightarrow \fbox{x= 144}

z=312-4y \longrightarrow z = 312 - 4 \cdot 48 \longrightarrow \fbox{z= 120}

Los lados de los 3 cuadrados miden 48m, 120m y 144m