Problema de optimización

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Queremos fabricar una caja sin tapa con base cuadrada y con un área de 300 cm^2. Si queremos que el volumen sea máximo, ¿cuáles serían sus dimensiones?

SOLUCIÓN


– En primer lugar hacemos el dibujo y asignamos incógnitas a los datos desconocidos.
– Escribimos la función a optimizar (maximizar o minimizar): en nuestro caso es el volumen, que debemos maximizar
Volumen =x^2\cdot y
– La función a maximizar (el volumen) debe tener una sola variable. Como en nuestro caso tiene 2 variables ( x, y), debemos buscar alguna relación entra ambas para conseguir que haya una sola variable.
– La relación (entre x e y) que buscamos, suele venir en los datos del problema.
– El problema dice que el área vale 300 (la suma de el suelo y las 4 paredes).
x^2+4xy=300
La expresión anterior relaciona x e y. Ahora debemos despejar una de ellas en función de la otra (y después sustituir su valor en la función a maximizar).
y=\frac{300-x^2}{4x}
– Expresamos el volumen como V(x)

V(x)=x^2y =x^2 \cdot \frac{300-x^2}{4x} = \frac{300x - x^3}{4}


– Una vez que tenemos la función a maximizar con una sola variable, solo nos queda buscarle los extremos (máximo en este caso).

V(x)=\frac{300x - x^3}{4}
V\textsc{\char13}(x)=\frac{300 - 3x^2}{4}
V\textsc{\char13}(x)=0 \Rightarrow \frac{300 - 3x^2}{4}=0 \Longrightarrow x=\pm 10

A las 2 soluciones \pm 10, candidatos a extremos, le aplicamos la segunda derivada para comprobar si alguno de ellas es máximo.
V\textsc{\char13}\textsc{\char13}(x)=\frac{- 6x}{4}
V\textsc{\char13}\textsc{\char13}(10)=\frac{- 6 \cdot 10}{4} < 0 \Longrightarrow MAX en x=10

Por tanto, las dimensiones son x=10 e y=\frac{300-10^2}{4 \cdot 10}=5
La caja debe tener 10 \: cm de base y 5 \: cm de altura