Rectas tangente y normal a una curva

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Sea f: R \longrightarrow R la función definida por f(x)=4-x^2

– a) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abcisa x=2
– b) Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta x+2y-2=0

SOLUCIÓN

– a) La recta normal (perpendicular) a f en x=2 tiene por ecuación

y-f(2)=\frac{-1}{f\textsc{\char13}(2)} \cdot (x-2)


f(2)=4-2^2=0
f\textsc{\char13}(x)=-2x \quad \rightarrow \quad f\textsc{\char13}(2)=-2 \cdot 2 = -4
Por tanto la recta pedida es:

y = \frac{1}{4}(x-2)

– b) La recta x+2y-2=0 se puede expresar como y = \frac{-1}{2}x+1 , por tanto su pendiente es \frac{-1}{2}
Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1
Si la pendiente de la recta pedida es m, tenemos que m \cdot \frac{-1}{2}=-1 de donde m=2

(1) Sabemos que la pendiente de la recta tangente vale m=2
(2) Sabemos que la pendiente de la recta tangente es la derivada.

De (1) y (2) deducimos que f\textsc{\char13}(x)=2
-2x=2 \longrightarrow x=-1
Por tanto, el punto que nos piden es el punto de abcisa \fbox{x=-1}. La segunda coordenada del punto sería y=4-(-1)^2=3, por consiguiente el punto es (-1,3)