Selectividad Andalucía 2001-2-B4

, por dani

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Considera la matriz
A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 4\\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{array} \right)

– (a) Siendo I la matriz identidad 3 x 3 y O la matriz nula 3 x 3 , prueba que A^3+I=O
– (b) Calcula A^{10}

SOLUCIÓN:

– a) A^2 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 4\\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 0 & 3 & 4\\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1\\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{array} \right)

A^3 = A^2 \cdot A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right)

A^3 + I = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

– b) A^{10} =A^3 \cdot A^3 \cdot A^3 \cdot A =
(-I) \cdot (-I) \cdot (-I) \cdot A = -A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -3 & -4\\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{array} \right)