Selectividad Andalucía 2001-3-A1

andalucía Ejercicios_Resueltos límites MatemáticasII_Andalucía_2001 Regla de LHôpital selectividad

Calcula $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^x-1) sen \: x}{x^3-x^2}$

SOLUCIÓN

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^x-1) sen \: x}{x^3-x^2} = \frac {0}{0}$
Aplicamos la Regla de L’Hôpital

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^x-1) sen \: x}{x^3-x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^x) sen \: x + (e^x-1) cos \: x}{3x^2-2x}$
Vuelve a dar $0/0$ . Volvemos a aplicar L’Hôpital y queda:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^x) sen \: x + (e^x) cos \: x+ (e^x) cos \: x+(e^x-1) (-sen \:x)}{6x-2}$

Volvemos a sustituir $x$ por 0 y esta vez ya obtenemos un resultado: $\frac{2}{-2}=1$

Por tanto: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^x-1) sen \: x}{x^3-x^2} = \fbox{-1}$

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