Selectividad Andalucía 2002-6-A3

Considera el sistema de ecuaciones
\left. \begin{array}{lcl} x-my+z & = & 1 \\ x+y+z & = & m+2 \\ x+y+mz & = &4 \end{array} \right\}

- a) Clasifícalo según los valores del parámetro m
- b) Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado

SOLUCIÓN

Expresamos la matriz de los coeficientes (A) y la matriz ampliada (A^*)

A | A^* =\left( \begin{array}{ccc|c} 1 &-m & 1 & 1 \\ 1 &1 & 1 & m+2 \\ 1 &1 & m & 4 \end{array} \right)

Empezamos calculando |A| y viendo para qué casos vale 0

|A|=\left| \begin{array}{ccc} 1 &-m & 1  \\ 1 &1 & 1 \\ 1 &1 & m \end{array} \right| =m^2-1

|A|=0 \Longleftrightarrow m^2-1=0 \Longleftrightarrow m^2=1 \Longleftrightarrow m=\pm 1

Si m \neq 1 y m \neq -1 \longrightarrow |A| \neq 0 \longrightarrow r(A)=3
Como r(A*) = 3 y nº incógnitas = 3, según el Teorema de Rouché se trata de un S.C.D. (Sistema Compatible Determinado).

Veamos el resto de casos

Si m=1

A | A^* =\left( \begin{array}{ccc|c} 1 &-1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 4 \end{array} \right)

\left| \begin{array}{cc} 1 & -1 \\  1 & 1 \end{array} \right|=2 \neq 0 \longrightarrow r(A)=2

Veamos r(A*)
\left| \begin{array}{ccc} 1 &-1 & 1  \\  1 & 1 & 3 \\  1 & 1 & 4 \end{array} \right|=2 \longrightarrow r(A*)=3

Por el Teorema de Rouché se trata de un S.I. (sin solución)

Si m=-1

A | A^* =\left( \begin{array}{ccc|c} 1 &1 & 1 & 1 \\ 1 & \fbox{1} & \fbox{1} & 1 \\ 1 & \fbox{1} & \fbox{-1} & 4 \end{array} \right)

\left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\  1 & -1 \end{array} \right|=-2 \neq 0 \longrightarrow r(A)=2

Veamos r(A*)
\left| \begin{array}{ccc} 1 &1 & 1  \\1 & 1 & 1 \\  1 & 1 & 4 \end{array} \right|=0 \longrightarrow r(A*)=2

Por el Teorema de Rouché se trata de un S.C.I. (infinitas soluciones)

Resolvamos el S.C.I.

Nos fijamos en los números recuadrados, que nos dan el rango de A.
Las filas fuera del recuadro las eliminamos y las incógnitas fuera del recuadro las pasamos al otro lado del signo igual. Tendríamos:

\left. \begin{array}{rcl} y+z & = & 1-x \\ y-z & = & 4-x \end{array} \right\}

Hacemos x=t y obtenemos:

\left. \begin{array}{rcl} y+z & = & 1-t \\ y-z & = & 4-t \end{array} \right\}

Si resolvemos, obtenemos como soluciones:

x=t \qquad y=\frac{5}{2}-t \qquad z= \frac{-3}{2} \quad \forall t \in R