Selectividad Andalucía 2005-5-B4

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Se sabe que las rectas:

r \equiv \left. \begin{array}{lll} x = 1 + t \\ y = -1 - t \\ z = b + t \end{array} \right\}
y
s \equiv \left. \begin{array}{lll} x - y + z = 3 \\ 6x + 2z = 2 \end{array} \right\}
están contenidas en un mismo plano

– (a) Calcula b
– (b) Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s

SOLUCIÓN

a) Dos rectas están en el mismo plano cuando sean coincidentes, paralelas o secantes (es decir cuando no se cruzan). Si vemos la teoría de la posición relativa de 2 rectas en el plano Ver Vídeo, debemos crear una matriz M formada por 3 vectores: un vector director de cada recta y un tercer vector formado por un punto de cada recta.
Como no se pueden cruzar, tiene que se rango(M)<3, es decir |M|=0
Por tanto, el procedimiento es calcular el determinante de la matriz M e igualarlo a cero, y de ahí obtendremos el valor de b
Un vector director de r sería \vec{v_r}=(1,-1,1) y un punto A(1,-1,b)
De la recta s, que viene en ecuación general o implícitas, obtenemos dos puntos y a partir de ellos un vector director. ¿Cómo obtener puntos de una recta en ec. general
Para x=0 se obtiene z=1 , y=-2 Punto: (0,-2,1)
Para z=0 se obtiene x=1/3 , y=-8/3 Punto: (1/3,-8/3,0)
De ambos puntos obtenemos un vector \vec{v}=(1/3, -2/3, -1), pero podemos tomar uno proporcional para evitar fracciones (multiplicando por 3): \vec{v_s}=(1,-2,-3)

Ya podemos crear la matriz M:
\vec{v_r}=(1,-1,1) (vector director de r)
\vec{v_s}=(1,-2,-3) (vector director de s)
\vec{AB}=(1,1,b-1) (vector con un punto de cada recta)

|M|= -b+10 = 0 \Longrightarrow \fbox{b=10}

– b) El rango de M es 2 por lo que las rectas son secantes.
Para hallar la ecuación del plano que las contiene usamos un vector director de cada recta y un punto cualquiera de una de las rectas.

\left| \begin{array}{ccc} x-0 & y+2 & z-1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -3 \end{array} \right| = 0

\pi \equiv 5x+4y-z+9=0