Selectividad Andalucía 2007-3-B3

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Considera el sistema de ecuaciones
\left. \begin{array}{ccc} x+y+z & = & 0 \\ 2x+\lambda y+z & = & 2 \\ x+y+\lambda z & = & \lambda - 1 \end{array} \right\}

– a) Determina el valor de \lambda para que el sistema sea incompatible.
– b) Resuelva el sistema para \lambda = 1

SOLUCIÓN

– a) Expresamos la matriz de los coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*)

A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & \lambda \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \lambda-1 \end{array} \right )

|A|= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & \lambda \end{array} \right | = \lambda^2 -3\lambda+2

|A|=0 \Longleftrightarrow \lambda^2 -3\lambda+2=0 \Longleftrightarrow \lambda= 1 , \lambda= 2

– Si \lambda \neq 1 y \lambda \neq 2 \Longrightarrow |A| \neq 0 \Longrightarrow rang(A)=3
Como rang(A*)=3 y nº incógnitas=3, según el teorema de Rouché, el Sistema es Compatible Determinaddo.

– Si \lambda = 1, las matrices serían
A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right )
Ya sabemos que para \lambda = 1 el det(A)=0 (el rango de A no puede ser 3). Veamos si el rango de A vale 2:
\left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right | \neq 0 \Longrightarrow rang(A)=2
\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 &0\\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right | = 0 \Longrightarrow rang(A*)=2
Se trata de un Sistema Compatible Indeterminado

– Si \lambda = 2, las matrices serían
A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right )
Ya sabemos que para \lambda = 1 el det(A)=0 (el rango de A no puede ser 3). Veamos si el rango de A vale 2:
Tomamos las filas 1 y 2; columnas 2 y 3
\left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right | \neq 0 \Longrightarrow rang(A)=2
\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 &0\\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right | \neq 0 \Longrightarrow rang(A*)=3
Se trata de un Sistema Incompatible

Por tanto Sist. Incomp. para \lambda=2

– b) Resolvemos el sistema para \lambda = 1 (en el apartado anterior hemos visto que es Compatible Indeterminado para \lambda = 1).

Las matrices son A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right )
El determinante que daba el rango a la matriz A, era el formado tomando las 2 primeras filas y las dos primeras columnas \left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right | \neq 0, por tanto eliminamos la 3ª fila y pasamos la 3ª columna a los términos independientes, quedando:
\left. \begin{array}{ccc} x+y & = & -z \\ 2x+y & = & 2-z \end{array} \right \}
Haciendo z=t y resolviendo el sistema 2x2 obtenemos las soluciones:

\left. \begin{array}{ccc} x = 2 \\ y = -2-t \\ z = t \end{array} \right\} (con t \in R)