Selectividad Andalucía 2007-3-B3

Considera el sistema de ecuaciones
$\left. \begin{array}{ccc} x+y+z & = & 0 \\ 2x+\lambda y+z & = & 2 \\ x+y+\lambda z & = & \lambda - 1 \end{array} \right\}$

a) Determina el valor de $\lambda$ para que el sistema sea incompatible.
b) Resuelva el sistema para $\lambda = 1$

SOLUCIÓN

a) Expresamos la matriz de los coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*)

$A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & \lambda \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ \lambda-1 \end{array} \right )$

$|A|= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & \lambda \end{array} \right | = \lambda^2 -3\lambda+2$

$|A|=0 \Longleftrightarrow \lambda^2 -3\lambda+2=0 \Longleftrightarrow \lambda= 1 , \lambda= 2$

Si $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq 2 \Longrightarrow |A| \neq 0 \Longrightarrow rang(A)=3$
Como y nº incógnitas=3, según el teorema de Rouché, el Sistema es Compatible Determinaddo.

Si $\lambda = 1$ , las matrices serían
$A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right )$
Ya sabemos que para $\lambda = 1$ el det(A)=0 (el rango de A no puede ser 3). Veamos si el rango de A vale 2:
$\left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right | \neq 0 \Longrightarrow rang(A)=2$
$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 &0\\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right | = 0 \Longrightarrow rang(A*)=2$
Se trata de un Sistema Compatible Indeterminado

Si $\lambda = 2$ , las matrices serían
$A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right )$
Ya sabemos que para $\lambda = 1$ el det(A)=0 (el rango de A no puede ser 3). Veamos si el rango de A vale 2:
Tomamos las filas 1 y 2; columnas 2 y 3
$\left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right | \neq 0 \Longrightarrow rang(A)=2$
$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 &0\\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right | \neq 0 \Longrightarrow rang(A*)=3$
Se trata de un Sistema Incompatible

Por tanto Sist. Incomp. para $\lambda=2$

b) Resolvemos el sistema para $\lambda = 1$ (en el apartado anterior hemos visto que es Compatible Indeterminado para $\lambda = 1$ ).

Las matrices son $A|A^* = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right. \left | \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right )$
El determinante que daba el rango a la matriz A, era el formado tomando las 2 primeras filas y las dos primeras columnas $\left| \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right | \neq 0$ , por tanto eliminamos la 3ª fila y pasamos la 3ª columna a los términos independientes, quedando:
$\left. \begin{array}{ccc} x+y & = & -z \\ 2x+y & = & 2-z \end{array} \right \}$
Haciendo y resolviendo el sistema 2x2 obtenemos las soluciones:

$\left. \begin{array}{ccc} x = 2 \\ y = -2-t \\ z = t \end{array} \right\}$ (con $t \in R$ )

SOLUCIÓN

Palabras clave